- •Автор: Григоренко в.К.
- •§1. Екстремум функції багатьох змінних.
- •§2 Функціонал.
- •§3 Варіація функціоналу.
- •§4. Друга варіація функціоналу.
- •§5. Екстремум функціоналу.
- •§7. Друге узагальнення найпростішої варіаційної задачі.
- •§8. Умовний екстремум функції багатьох змінних г, с*
- •§9. Умовний екстремум функціонала.
- •§10. Ізопериметричні задачі.
- •§11. Варіаційні задачі з рухомими межами.
- •§12. Варіаційні задачі з кутовими точками.
- •§13. Поле екстремалей.
- •§14. Необхідні достатні умови мінімуму (максимуму) функціонала
- •§15. Система запитань.
- •§16. Відповіді до системи запитань.
§12. Варіаційні задачі з кутовими точками.
Розглянемо задачу про знаходження екстремуму функціоналу
J[у(x)] = F(х,у,у' )dx при граничних умовах у(х0) = у0, у(х1) = у1 причому
екстремаль може мати кутову точку с (xо, х1). Умова існування кутової точки: F''у'y' =0. В кутовій точці с екстремаль повинна задовольняти умовам
Вейєрштрасса-Ердмана:
Разом з умовами неперервності шуканої екстремалі вони дозволяють визначити координати кутової точки.
На кожному з відрізків [хо; с] і [с1; х1] екстремаль повинна задовольняти рівняння Ейлера (диференціальне рівняння 2-го порядку). При розв'язуванні цих двох рівнянь одержується чотири довільних сталих, які знаходяться з граничних умов і умов Вейєрштраса-Ердмана в кутовій точці.
Якщо кутових точок кілька, то таке дослідження проводиться в кожній з них.
Приклад І. Знайти екстремалі з кутовими точками (якщо вони існують)
функціонала J[у(x)] = ( у' 2 -у2 ) dх.
Розв'язання. Перша умова Вейєрштраса-Ердмана
F'y' |х=с-о= F'у' |x=с+о, 0 < с < а, дає в кутовій точці у'(с - 0) = у'(с + 0), тобто у'(х) при
х = с - неперервна. Отже кутової точки немає.
Це слідує також з того, що F"y'y' = 2 > 0 х [0;а]. Значить, даний
функціонал має екстремум лише на гладких кривих.
Приклад 2. Знайти екстремалі з кутовими точками функціоналa
J[у(x)] = ( у' 4 - 6у2 ) dх.; у(0) = 0; у(2) = 0, припускаючи, що у' може мати
одну точку розриву з абсцисою х = с.
Розв'язання Умова існування кутової точки дає: F"y'y' = 12у' 2 -12 = 0, а тому кутова точка в екстремалі можлива. Оскільки підінтегральна функція залежить лише від у', то екстремалями є прямі у = c1 x + с2.
Покладемо у - 0 = Ах + В; х [0; с); y + 0 = Сх + D (с = х < 2). З граничних умов знаходимо В = 0; В = -2С, то у - 0 = Ах; у+0 = С(х - 2).
Умова неперервності екстремалі: y(c + о) = y(с-О) дає Ас = С(с - 2). (*) Умови Вейєрштраса-Ердмана дають систему: Але у' -0 = А; у'+0 = С, то aбo
З другого рівняння маємо А = С або А = - С або А2 +С2 -2 = 0. Розв'язок А = С відкидаємо, бо при цьому екстремаль має неперервну похідну, а з умови (*) одержуємо, що А = 0, тобто екстремаль - відрізок осі ОХ.
Отже, розв'язок системи (**) зводиться до розв'язування слідуючих систем
i
Розв'язок першої системи: А = , С = - i А = - , С = .Розв'язок
другої системи: А = С повинен бути відкинутим. Отже, А = - С і умова
неперервності (*) дає С=1.
Значить шукані екстремалі: i
Задачі. 1.Знайти екстремалі з кутовою точкою для
функціонала J[у(х)] = у' 2 (у'-1)2 dx , у(0) = 0; у(2) = 1.
В. Ламані, складені з відрізків прямих у = х і у = 1 або з відрізків прямих у = 0 і у = х-1, дають абсолютний мінімум. Пряма у = дає слабкий максимум.
2. Знайти розв'язок з однією кутовою точкою в задачі про мінімум
функціонала J[у(х)] = (у'-1)2 (y'+1)dx, у(0) = 0, у(4) = 2.
В. у = - х при х [0;1]; у = х- 2 при х [1;4] і у = х при х (0;3]; у = - х + 6 при х [3;4] на тій і другій ламаній - min.
3. Чи існують розв'язки з кутовими точками в задачі про екстремум
функціоналу J[у(х)] = (y'2 + 2xy - у2)d х, у(х0) = у0, у(х1) = у1.
В. Не існує.
4. Знайти розв'язок з кутовою точкою в задачі про екстремум
функціоналу J[у(х)] = у2(1 - у' 2)dх, у(-1) = 0, у(1) = 1.
B.
5. Знайти розв'язок з кутовою точкою в задачі про мінімум функціоналу
J[у(х)] = (у' 4-2у'2)d х.
В. Екстремалі - прямі лінії. Якщо розв'язки < 1, то існують два розривних розв’язки - ламані лінії, паралельні бісектрисам координатних кутів.
6. В задачі про екстремум функціоналу J[у(х)] = знайти
неперервний розв'язок, а також розв'язок з кутовою точкою.
В. Пряма у = хtgφ, при 0 < tgφ<π; π< tgφ<2π; і т.д.
Ламана лінія, складена з відрізків прямих, тангенс кутів нахилу яких дорівнює (п Z ).
7. Знайти розв’язок з однією кутовою точкою в задачі при min функціоналі .
а) J[у(х)] =
B.y=-x при ; y=x-2 при 1< x ≤4 і y=x при 0≤ x ≤3 ; y=-x+6 при 3 < x ≤ 4. На тій і другій ламаній функціонал досягає абсолютного мінімуму .
б) Чи існують розв’язки з кутовими точками в задачі про екстремум функціоналу
J[у(х)] = , y(x0)=y0 , y(x1)=y1
B. не існує
в)Чи існують розв’язки з кутовими точками в задачі про екстремум функціоналу
J[у(х)] = ; y(0)=0; y(x1)=y1
В. Ламані , що проходять через задані граничні точки складаються з прямолінійних відрізків з кутовими коефіцієнтами і .
г) Знайти умову трансверсальності для функціоналу
J[у(х)] = ; A(x,y)≠0
B. тобто екстремалі провинні перетинати криву , по якій ковзає гарнична точка , під кутом .
д) Користуючись необхідною умовою екстремуму функціоналу (δJ=0), знайти функцію , на якій реалізується екстремум функціоналу
J[у(х)] = ; y(0)=y'(0)=0; y(1)= ; y'(1) не задано .
B.y=
е) Знайти криві , на яких може реалізуватися екстремум функціоналу
J[у(х)] = ; y(0)=0, y(10)=0 при умові , що допустимі криві не можуть проходити всередині круга , обмеженого колом (x-5)2+y2=9
B. y= при ; y= при ;
y= при < x ≤ 10, тобто крива складається з відрізка прямої , що дотикається кола , дуги кола і знову відрізка дотичної до кола .
є) Знайти функцію , на якій може досягатися екстремум функціоналу
J[у(х)] = ; y(0)=0 ,
якщо друга межа ковзає по прямій x=
B.y=0
і) Знайти криву , на якій може досягатися екстремум функціоналу
J[у(х)] = ; y(0)=0,
якщо друга межа (x1,y1 ) переміщується по колу (x-9)2+y2=9.
B.Дуги кола y =