
- •Автор: Григоренко в.К.
- •§1. Екстремум функції багатьох змінних.
- •§2 Функціонал.
- •§3 Варіація функціоналу.
- •§4. Друга варіація функціоналу.
- •§5. Екстремум функціоналу.
- •§7. Друге узагальнення найпростішої варіаційної задачі.
- •§8. Умовний екстремум функції багатьох змінних г, с*
- •§9. Умовний екстремум функціонала.
- •§10. Ізопериметричні задачі.
- •§11. Варіаційні задачі з рухомими межами.
- •§12. Варіаційні задачі з кутовими точками.
- •§13. Поле екстремалей.
- •§14. Необхідні достатні умови мінімуму (максимуму) функціонала
- •§15. Система запитань.
- •§16. Відповіді до системи запитань.
§4. Друга варіація функціоналу.
Означeння. Функціонал J[х,у] від двох змінних х, у які належать деякому лінійному простору називається білінійним, якщо при фіксованому х він лінійний по у, а при фіксованому у - лінійний по х.
Якщо в білінійному функціоналі покласти х = у, то одержимо функціонал J[у,у], який називається квадратичним. Нехай J[у(х)] - функціонал, визначений на якому-небудь лінійному нормованому просторі.
Означення. Квадратичний функціонал L2[δу] називається другою варіацією функціонала J[у(х)] і позначається δ2J = L2[δу], де
∆J= L1[δу] +1/2 L2[δу] + β||δу||2, тут L1[δу] - лінійний функціонал, L2[δу] -квадратичний функціонал, β → 0 при ||δу|| → 0.
Приклад. Знайти другу варіацію функціонала
J[у(х)]=
, визначеного
на просторі С(1)[
0,1]
функцій у(х).
Розв'язання. Маємо
∆J = J[у + δу] - J[у] = (х(у + δу)2 + (y'+δу')3- ху2 - у' 3 )dх =
= (2хуδу + х(δу)2 +3y' 2δу'+3у'(δу')2 +(δу')3)dх =
= (2хуδу + 3у' 2 δу')dх + (х(δу)2 +3у' (δу' 2)dх + (δу')г dх.
При фіксованому у(х) перший доданок правої частини є лінійний відносно δу(х) функціонал; другий доданок правої частини є квадратичний функціонал, а третій - допускає оцінку
Це значить, що цей
доданок представляється у вигляді
,
де
β→0
при ||δy||→
0. Отже, цей функціонал має другу варіацію
δ2J:
Введемо функцію Ф(α) = J[у + αδу]. Друга варіація функціонала визначається також через другу похідну функції Ф(α) в точці α = 0:
або
Задачі: Знайдіть двома способами другу варіацію функціоналів.
J[у(х)]=
J[у(х)]=
J[у(х)]=
J[у(х)]=
J[у(х)]=
6. Довести, що квадратичний функціонал диференційований і знайти йогo другу варіацію. (В. δJ2(у, у) = 2J[δу, δу]).
§5. Екстремум функціоналу.
Найпростіша варіаційна задача.
Екстремалі
функціоналу J[у(х)]
=
F(х
,у,
у')dх.
Функціонал J[у(х)] приймає на кривій у = yо(х) максимум, якщо значення функціоналу на будь-якій кривій близькій до у = уо(х) кривій не більше,
ніж J[уо (х)], тобто:
∆J= J[у(х)] -J[у0(х)]≤0.
Якщо ∆J ≤ 0, причому ∆J = 0 тільки при у(х) = yо(х), то на кривій у = yо(х) досягається строгий максимум, (мінімум для функціоналу буде тоді,
коли ∆J ≤ 0).
Приклад 1.
Показати, що функціонал
J[у(х)] = (х2 + уг)dх на кривій у = 0 досягає строгого мінімуму.
Розв'язання.
Для будь-якої неперервної функції у(х) на [0; 1] маємо
∆J = J[у(х)] – J[0]= (хг+уг)dx - х2 dх = у2dх ≥ 0, причому знак
рівності досягається лише при у(х) ≡ 0.
Розглянемо функціонал J[у(х)] = F(х,у,у')dх (1).
Задача знаходження екстремуму цього функціоналу на множині
G= {у(х)| у(х) С' [х0, x1], у(а) = уо, у(b) = у1}називається найпростішою задачею варіаційного числення. В цій задачі звичайно уточнюють поняття екстремуму. Якщо функціонал J[у(х)] досягає на кривій у = уо(х) екстремум по відношенню до всіх кривих у(х) G, близьких до уо(х) тільки по ординаті (близькість кривих в смислі нульового порядку), то екстремум називається сильним, а якщо враховується близькість кривих і по ординатах, і по напрямку, то екстремум називається слабким, (близькість кривих розуміється в смислі першого порядку).
Приклад 2.
Нехай маємо функціонал J[у(х)] = у2(1-у' 2)dх в просторі функцій у(х)
= С(1)[0; π] з граничними умовами у(0) = 0; у(π) = 0. Відрізок у ≡0, х [0; π ] дає слабкий мінімум функціоналу J. Дійсно, для у = 0, J= 0, а для кривих у(х), всі близькі до у = 0 в смислі близькості першого порядку |у'| < 1, то підінтегральний вираз додатній при у ≠0, і J додатній і перетворюється в 0 лише при у ≡ 0. Отже, при у ≡ 0 х [0; π] досягається слабкий мінімум.
Сильний же мінімум не досягається. Щоб це показати покладемо
тоді
і при n достатньо великому буде J < 0.
З другого боку, всі ці криві при п достатньо великому, близькі до у ≡0 в смислі близькості нульового порядку. Отже, сильний мінімум не досягається при у = 0.
Приклад 3.
Розглянемо функціонал
J[у(х)]
=
x2
у'
2dx,
у(-1) = -1; у(1)
= 1.
Маємо J[у(х)] ≥ 0 на [-1; 1] і J[у(х)] = 0 тільки при у' = 0, тобто у(х) = с. Функції у = с С(1) [-1; 1], що мають на [-1; 1] неперервну похідну першого порядку, але не задовольняють заданим граничним умовам. Значить, J[у(х)] > 0 для всіх у(х) С(1) [-1; 1], що задовольняють умовам у(-1) = -1, у(1) = 1.
Таким чином функціонал має нижню грань, але вона не досягається на кривих у(х) С(І)[-1; 1]. Дійсно, розглянемо сім'ю кривих
a>0
.
Ці криві задовольняють
граничні умови: у(-1) = -1, у(1) = 1. При а →
0
одержимо
граничну
функцію
Ця функція кусково - диференційовна на [-1; 1].
Маємо
J[у(х)]=
Звідси слідує, що J[у(х)] → 0 при а →0. На граничній функції у(х), яка задовольняє граничним умовам у(-1) = -1, у(1) = 1, функціонал приймає значення нуль. Отже, функціонал J[у(х)] приймає свій мінімум на кривій
(х)
= signx
, яка
належить до класу функцій кусково -
диференційовних на
[-1; 1], але не належить до класу С(|)[-1; 1].
Необхідна умова екстремуму функціоналу.
Якщо функціонал J[у(х)] досягає екстремуму при у = yо(х), де у0(х) -внутрішня точка області визначення функціоналу, то при у = уо(х) маємо δJ[у0(х)] = 0.
Далі розуміємо тільки слабкий екстремум. Основою для розв'язання варіаційних задач є твердження:
якщо функція уо(х) G реалізує екстремум функціоналу (1), то вона є
розв'язком рівняння Ейлера F'y - F' y' = 0. (2)
Сім'я інтегральних кривих рівняння (2) у = у(х, с1 с2) називається екстремалями функціоналу (1).
Якщо екстремаль належить множині G, то вона називається допустимою. Отже, для знаходження допустимих екстремалей необхідно з системи рівнянь
у(а, c1, с2) = уо, у(b, с1, с2) = у1 виразити с1 = с1(0) і с2 = с2(0). Якщо екстремальне значення функціоналу (1) існує, то воно реалізується функцією
у = у (x, с1(0) ,с2(0)).
Приклад 1.
Знайти допустимі екстремалі функціоналу:
J[у[х)]= (12ху +уy'+у' 2)dх
при умові у(0) = 1, у(1) = 4.
Розв'язання.
Складемо рівняння Ейлера;
,
яке
приймає вигляд
12х + у' - у' - 2у" = 0, тобто 12х - 2у" = 0.
Значить у" = 6х у = х 3+ c1 x+ с2. Підставляючи граничні умови маємо: c1=2,
с2 = 1. Таким чином, у = х3 + 2х+ 1.
Відмітимо випадки, коли рівняння Ейлера має перші інтеграли.
1) функція F не містить у: F = F(х, у').
Рівняння Ейлера має вигляд
(*)
Приклад 2.
Знайти екстремалі функціонала
Розв'язання.
З рівняння Ейлера
(*) (F
не містить у), одержимо
,тобто
Звідси знаходимо рівняння екстремалей
у = с2 + агссоs(c1e-x ).
2) функція F залежить тільки від у і у':
F = F(у, у'). Тоді рівняння Ейлера має перший інтеграл
(**) F- у' F'y =с.
Приклад 3.
Серед кривих, які з'єднують дві точки (а, у0) і (b, у1), знайти ту, яка при обертанні навколо осі Ох утворює поверхню найменшої площі.
Розв'язання.
Площа поверхні обертання кривої у(х) навколо осі Ох визначається іінтегралом
S(у)
= 2π
Для підінтегральної функції рівняння Ейлера (F не містить х) має вигляд
(**),
що
,
тобто у
=
Звідси
,
тобто у =
.
Сталі c1
і с2
визначаються
з рівнянь
Приклад 4. Знайти екстремалі функціонала
Розв’язання .
не залежить
від х , то замість рівняння Ейлера
розглядаємо перший інтеграл
:
Значить ,
. Скористаємось далі крайовими умовами
y(-1)=y(1)=b>0. Для знаходження c і c1 маємо систему
При b<1
ця система
розв’язків немає , при b=1
одержуємо
c2=
і
,
а при
b>1
- c2=
або
.
Отже , якщо b<1 , то дана варіаційна задача екстремалей немає , при b=1 є одна екстремаль , а при b>1 - дві (в останніх випадках екстремалями є параболи ).
Приклад 5.Проаналізувати екстремальні задачі для функціоналів :
а)
б)
в)
Розв’язання . Оскільки
а)
б)
в)
, то відповідні рівняння
Ейлера
мають вид
а)0=0 , б) y'-y' =0 , в) xy'-(xy)'=0
тому в перших двох випадках значення функціоналів не залежить від вибору функції у , що задовольняють умовам (y(0)=0,y(1)=1).
В випадку в) y(x)≡0
і
, значить
,
y(1)≠1
.
Значить екстремуму немає .
Зауваження . Те ,що в перших двох випадках значення функціоналів не залежить від вибору функції y(x), ясно і безпосередньо оскільки
.
Приклад 6. Знайти сім’ю екстремалей функціонала .
=
Розв’язання .
Перший інтеграл рівняння Ейлера
має вигляд
Щоб про інтегрувати одержане рівняння,
покладемо
.
Тоді
,
а
і
.
Виключаючи t
, одержимо
,
де - сім’я області з центрами на осі
ординат .
Зауваження . Якщо
вважати , що деякі точки переміщуються
по кривій y=y(x)
зі швидкістю
V=x
, то
і
.
Значить , значення розглядуваного інтеграла – це час, який витрачається на переміщення по кривій з точки (a,y(a)) до точки (b,y(b)).
Приклад 7. Знайти екстремаль і дослідити на екстремум функціонал
=
, визначивши знак його приросту .
Розв’язання .
. Відповідне рівняння Ейлера має вигляд
, звідки після інтегрування одержуємо
.
Оскільки
і
y(-1)
=2 , то єдиною
екстремаллю даного функціонала є крива
Визначимо знак приросту функціонала в класі функцій на C1[-2;-1], що задовольняє вказаним крайовим умовам :
(тут враховано
,що
).
Значить , розглядуваний функціонал досягає на кривій слабого максимуму .
Приклад 8. Дослідити на екстремум функціонал :
Розв’язання .
.
Рівняння
Ейлера приймає вигляд
.
Враховуючи початкові умови маємо
.
Шукаємо екстремаль y=Bx.
Розглянемо тепер
умови Лежандра і Якобі . Маємо
(підсилена умова Лежандра виконується
і , очевидно Q=0,
а
P=6B)
. Тому рівняння Якобі має вигляд -
-
загальний розв’язок цього рівняння ,
а з врахуванням умов h(0)=0
і
маємо h(x)=x.
Оскільки h(x)
при
,
то виконується також підсилена умова
Якобі .
Отже , на кривій y=Bx даний функціонал досягає слабого мінімуму.
Приклад 9. Дослідити на екстремум функціонал
Розв’язання.
Розглянемо спочатку відповідне рівняння
Ейлера
. Розв’язки його
.
Екстремаллю даної варіаційної задачі
є крива
,
де сталі c1
і c2
визначені
з умов
Далі скористаємось теоремою .
Теорема. Нехай
функції
неперервні на [a
,b
] і , крім того ,p(x)>0,q(x)≥0
. Якщо y0
(x)
є екстремаль функціонала
і задовольняє умовам y(a)=A, y(b)=B , то на ній реалізується мінімум цього функціонала .
Оскільки
p(x)≡1>0,q(x)
1>0
, а
, то на основі цієї теореми на кривій y0
реалізується
мінімум.
Приклад 10. В просторі C1[-1;1] дослідити на екстремум функціонал
J[y(x)]=
.
Розв’язання.
Знайдемо екстремалі даної варіаційної
задачі . Оскільки функція не залежить
від у , то рівняння Ейлера має вигляд
,
або
. Однак функція у(х) має належати простору
C1[-1;1]
, тому
необхідно c1=0.
Можливі два випадки:
а) Якщо А=В, то
шуканою екстремаллю є функція y0(x)≡A.
Очевидно, що в цій точці функціонал J
досягає мінімуму , оскільки J[y]≥0
C1[-1;1]
і J[y0]=0.
б) Якщо А≠В , то екстремалей немає . Значить , даний функціонал не має в C1[-1;1] і екстремуму .
Відмітимо , однак , слідуюче.
Розглянемо послідовність функцій
, що задовольняють
початкові умови і належать простору
C1[-1;1]
, бо
. Тоді для довільного
маємо
Значить ,
. Це означає,
що хоча
J[y]>0
C1[-1;1],
y(-1)=A,
y(1)=B, але
int
J[y(x)]=0 .
Приклад 11. Дослідити варіаційну задачу для функціонала
при умові
.
Вважається , що функції M
, N,
визначені і неперервні в області [a;b]x
.
Розв’язання. Не будемо приводити необхідні і достатні умови екстремуму функціонала .
Відомо , що вираз
M(x,y)dx
+N(x,y)dy
при вказаних
умовах є повним диференціалом . Значить
, інтеграл
не залежить від шляху інтегрування , а варіаційна задача для розглядуваного функціонала не має смислу .
Приклад 12. Серед всіх ліній , що з’єднують точки (-1, ch1) і (1, ch1 ) знайти ту , яка при обертанні навколо осі х утворює поверхню з найменшою площею .
Розв’язання. Шукана площа поверхні обертання виражається інтегралом
.
Тому це задача про мінімум функціонала
Запишемо перший інтеграл рівняння Ейлера
.
Якщо врахувати початкові умови , то одержимо екстремаль y0(x)=chx . З геометричних міркувань слідує, що даний функціонал на цій кривій досягає мінімуму.
Задачі.
Серед неперервно диференційовних на [а; b] функцій знайти екстремалі функціоналів.
1. J[у(х)]=
(у+
,
0<а<b.
B.y=
.
2. J[у(х)]=
(у
+ 2.xy'+(y')2)dх,
у(0) = у0
у(1)
= y1
В.у = --
х2+(y1
-
у0+
)х
+ y0
З. J[у(х)]= ((у')2 -4у2)dx, В.у = c сos(2х + c1).
J[у(х)]= ((e2у +2(у')2)dх, В. у = lnc -lnсоs(сх + с1).
J[у(х)]=
dx, В.у = sh(с,х+.сг).
6. J[у(х)]=
(х2у'
2
+ 2y2+
2хy)dx,
В.у
= с1х
+
+
хln|x|.
7. J[у(х)]=
,
В.
.
8. J[у(х)]=
(x2y'
2+12y2)
dx,
0<а<b.
В. с1
х3+
9. J[у(х)]=
(у
+ 2ху'+у'2)dx
, у(0) = 1;y
(1) = 2. В.
у(х) =
[0;1].
10.
J[у(х)]=
(12xу
+ yу'+y'
2)dx
B.
y
= х3
+с1
х
+ с2.
J[у(х)]=
(у'2+2уу'+ 16у2 )dх, В.у = с1е-4x +с2е4х.
J[у(х)]= (у'2-4у2)dx, В. у = с1 sin 2х + с2 соs 2х.
13. J[у(х)]=
,
В. у = tg(с1
х + с2).
14.
J[у(х)]=
(у2
- у'2-2усоsх)dх,
В. у =
хsinх
+ с1
sinх
+ с2
соsх.
15.J[у(х)]
=
(2xу'-
у'2)dх,
у(-1)
= 0,
у(1)
=
В.у
= хг-
16.J [у(х)] = (у2 + 2хуу')dх у(х0) = yo, у(x1`) = y1
В. Інтеграл не залежить від шляху інтегрування (повний диференціал під інтегралом). Варіаційна задача не має смислу.
17.J[у(х)]= (xу+у2-2у2у')dх, у(0)=1, у(1)=2; В. В класі неперервних функцій екстремум не досягається.
18.
J[у(х)]
=
у'(1
+ х2у')dх
B..у=
+ с2.
19. J[у(х)] = (у' 2 + 2уу' -16у2)dх В. у = с1 sin(4х-с2).
20.
J[у(х)]
=
(ху'+
у'
2)dх
В. у
= -
с1х
+ с2.
21. J[у(х)] = (у2 + у' 2 - 2у sinx) dх В. у = с1ех + с2е х + sinх.
22.
J[у(х)]
=
23.
J[у(х)]
=
В.
у = с1x4
+с2.
24. J[у(х)] = (у2 +у' 2 +2уех)dх В. у = хех +с1ех +с2 e -х.
25.
J[у(х)]
=
(
у2
+у'
2
+2уsinx)dх
В.
у =
-
+
с1соsх
+ с2sinx.
26. J[у(х)]
=
(у2
+у'
2
+
)dх
В. у
= с1ch
х +
с2shх
+ хshх-сhх
ln
сhх.
27 J[у(х)]
=
(2ху
+ (х2
+ еу)у')dх,
у(а) = А, у(b)
= В.
В. Інтеграл не залежить від шляху інтегрування (повний диференціал під
інтегралом).
Варіаційна задача не має смислу.
28.
J[у(х)]
=
(еу
+ ху')dх,
у(0) = 0 у(1)
= а.
В. у = 0, якщо а = 0; при а ≠ 0 гладкої екстремалі немає.
29.
J[у(х)]
=
(у'
2
- у2
)
dх,
у(0) = 1, у(π /
4) =
В. у = соsх.
30. J[у(х)] = (х + у'2)dx ,у(0)=1,у(1) = 2В.у = х+1.
31.
J[у(х)]
=
(у2
+ у'2)dх,
у(0)
= 0, у(1) = 1 В. у
=
32. J[у(х)] = (у'2 + 4у2)dх, у(0) = ех, у(1) = 1 В. у = е2(1-x).
33.J[у(х)] = (2еу –y2)dx, у(0) = 1, у(1) = е.
В. Немає екстремалей; рівняння Ейлера немає розв'язків. 34. J[у(х)] = (ху' + у'2)dх, В. у = с1+с2х- .
35. Довести, що лінійний функціонал
J[у(х)] = (p(х)y' + q(x)y + r (х))dx , де р(х), q(x), г(х) С[а,b] немає
екстремумів.
Знайти екстремалі функціоналів:
36. J[у(х)] = (у2 + у'2 + 2уех)dх, В. у =c1ex + с2 е -x+ хех.
37.
J[у(х)]
=
(у2
- у'2
- 8усhх)dx
, у(0) = 2,
у(π/2) = 2chπ/2.
В. у = 2сhх.
38. J[у(х)] = х4 у' 2dх
39.
J[у(х)]
=
(y'2
–
y2)dx
, у(0) = 1,
у(π) = -1
В. у =соsх +csinx, де с - довільна стала.
40.
J[у(х)]
=
х2у'
2
dx
, у(-1)
= -1, у(1) = 1
В. гладких екстремалей немає
41.
J[у(х)]
=
42. Знайти допустимі екстремалі функціоналів:
a) J[у(х)] = (12xy+yу' + у'2 )dх, В. у =x3+c1 x+c2.
б)J[у(х)]
=
( у'2
+ 2уy'+16y2)dх,
В. у
=c1e-4x
+ с2
е
4x.
в) J[у(х)] = (у'2 + 4у2)dх, В. у =c1sin2x + с2 cos2x.
г)J[у(х)]
=
dх,
В. у
=tg(c1x
+ с2
).
д)
J[у(х)]
=
(у2
+ у'2
+ 2уcosx)dх,
В. у
=
xsinx
+c1sinx
+ с2
cosx.
е)
J[у(х)]
=
(2xy'-
у'2
)dх,
y
(-1)=0,y(1)=
В. у
=x2
-
x-
.
43.
J[у(х)]
=
dх,
при умовах
у =x2
; у=х-5.
44. J[у(х)]
=
(x2
у'2
+ уx)dх,
при
у
=2x-1,
y=x2.
45. J[у(х)]
=
(у+ +2xy'+у'2
)dх,
при
у
=2x+1,
y
=-x+2.
46. На яких кривих можуть досягати екстремум слідуючі функціонали:
а)
J[у(х)]
=
( у'2
-
у2)dх,
у
(0)=0,
y(
)=1
б) J[у(х)] = ( у'2 +12x у)dх, у (0)=0, y(1)=1
в)
J[у(х)]
=
dх,
у
(1)=0,
y(2)=1
47. Знайти екстремалі функціоналів:
J[у(х)]
=
dх,
y(a)=A
, y(b)=B
B. y= sh (c1 x +c2)
48.Довести , що єдиною екстремаллю функціонала
J[у(х)]
=
dх,
у
(0)=0,
y(1)=1,
є лінія у=х
49. Знайти екстремалі слідуючих функціоналів:
a) J[у(х)] = у2 dх, у(a) =A, y(b)=B
б) J[у(х)] = ( у2+ x2y')dх, у (0)=0, y(1)=a
в) J[у(х)] = (у+ xу')dх, у(a) =A, y(b)=B
г) J[у(х)] = (у2 + у'2 - 2уsinx )dх,
В.а) y=0 тільки при A=B=0
б) y=x
при
a=1
, при
a
1
екстремалей немає
в)інтеграл не залежить від шляху інтегрування і варіаційна задача не мах смислу
г) y(x)= c1ex + с2 е -x+ sinx.
50.Дослідити на екстремум функціонал
J[у(х)]
=
( у'2
-
у2)dх,
у
(0)=
y(a)=0,
якщо a) 0<a <π ; б) π<a<2π
В.а) min при y=0 .
б) екстремуму немає .
§6. Перше узагальнення найпростішої задачі варіаційного числення. Екстремалі функціонала J[у(х)] = F((х,у,у',у",...,у(n))dх .
Нехай маємо функціонал J[у(х)] = F((х,у,у',у",...,у(n))dх при граничних
умовах: у(х0) = у0, y'(хо) = у'о, …, y(,n-1) (хо) = y(,n -1) (хо)
y(х1) = у1,у'(х1) = у'1, ..., y(,n-1) (х1) = y(,n-1) (х1).
Функція F - диференційовна n+2 рази по всіх аргументах, у(х) С(2) [х0,x1]. Екстремалями функціонала є інтегральні криві рівняння Ейлера-Пуассона:
Серед розв'язків цього рівняння, якщо вони існують, є екстремалі функціонала.
Приклад. Знайти екстремаль функціонала.
J[(х)]= (360х2у-у"2)dх,
у(0) = 0; у'(0) = 1; у(1) = 0; у'(1) = 2,5.
F = 360х2у-y"2-
F'у = 360х2; F'У' = 0; Р'у' ' = -2у".
Рівняння Ейлера-Пуассона має вигляд:
360х2
+
(-2y'')
= 0 або 360х2
- 2у
=
0;
і т.д.
Загальний розв'язок
Використовуючи граничні умови, маємо:
c1
=
;
с2
= -3; с3
= 1; с4
= 0.
Шукана екстремаль
у =
Задачі. Знайти екстремалі функціоналів:
1.
J[у(х)]=
y(0)=0 ; y' (0)=1;
y(1)=0 ; y' (1)=-sh1; B.y(x)=(1-x)sh1.
2.
J[у(х)]=
y(-1)=1 ; y' (-1)=4,5; y''(-1)=16;
y(0)=0 ;
y' (0)=0;
y''(0)=0;
B.y=
3.
J[у(х)]=
y(a)=y0 ; y' (a)= y'0 (x);
y(b)=y1 ; y'(b)=y'1. B. Екстремуму нема.
4.
J[у(х)]=
y(а) = А1; y'(a) = A2;
y(b) = B1; y'(b) = B2;
В. Варіаційна задача не має смислу бо під інтегралом є повний диференціал
функції уу".
5. J[у(х)] = (у'2+у" 2)dх,
у(0) = 0; у'(0)=1;
у(1) = sh1; у'(1) = сh1. В.у(х) = shх.
6. J[у(х)]
=
(у")2
dх,
у(а) = 0; у'(а) = 1; у(b)
=
1; у'(b)
= 1.
7.
J[у(х)]
=
(y'')2
dx,у(0)
= 0;у'(0) = 0;у(1) = 2;у'(1)=1.
Приклад 2. Знайти екстремалі функціоналу.
J[у(х)]= (16у2-у'2+еx)dх.
Розв
'язання. Складаємо
рівняння Ейлера-Пуассона: 32у —2у IV
=0.
Звідси маємо:
Задачі.
Знайти
екстремалі функціоналів.
8 .J[у(х)] = (4y2 + 5y' 2 + y"2 )dx , В. у = с1 ех + с2е -х + с3е2х +с4е - 2х.
9. J[у(х)] = (2xy + y'"2)dx ,у(0) = у'(0) = у"(0) = у(1) = у'(1) = y"(1)=0
В. у
=
(х7
- 6х5
+ 8х4
- 3х3).
10.
J[у(х)]
=
(4y2-5y'2+y''2)dx
.
у(0)
= 3; у'(0)
= 4;
у(π/2)=1; у'(π /2) = -4. В. у = 2соsх + 2sinх+соs2х + sin2х.
11. J[у(х)] = (уу' + у'2 + уу" + у'у" + у"2)dх. В. у = c1+ c2x + c3x2 +c4x 3. .
12. J[у(х)] = (16у2 - у"2 + х2)dx.
B. у = c1 e2х + с2е - 2х + с3соs2'x +с4sin 2х.
13.
J[у(х)]
=
В. у = (c1+
c2x)cosx
+ (c3
+ c4x)sinx
-
14. J[у(х)] = (y'"2 + у2 - 2ух3)dх.
В. у
= с1
ех
+ с2е
-х
+
(с3
соs
х
+ с4
sin
х) +
+
(с5
соs
х
+ с6sin
х) + х3
.
15. J[у(х)] = (1 + у"2)dх; у(0) = 0; у'(0) = 1; у(1) = 1; у'(1) = 1.
16. J[у(х)] = (у" -у2+ х2)dх; у(0) = 1; у'(0) = 0; у(π/2) = 0; у'(π/2)=1.
17. J[у(х)]
=
18.
J[у(х)]
=
19. J[у(х)]
=
B.y=