§3 Варіація функціоналу.

Нехай функціонал J[у(х)] заданий на множині Е функцій у(х) приростом функціоналу J[у(х)], що відповідає приросту δу(х) аргументу, називається величина

∆J= ∆J [у(х)] = J[у(х) + δу(х)] -J[у(х)].

Означення. Якщо приріст функціоналу

J[y(х) + δу(х)] - J[у(х)]

Можна представити у вигляді:

∆J = L[у(х),δу] + β(у(х)_>δу)||δу||,

де L[у(х), δу] - лінійний по відношенню δу функціонал і β(у(х), δу) → 0 при

|δу ‌‌| →0, то лінійна по відношенню до δу частина приросту функціоналу (Lу(х), δу]) називається варіацією функціоналу : δJ = L[у(х), δу(х)], а функціонал Lу(х)] називається диференційований в точці у(х).

Приклад 1. Знайти приріст функціоналу

J[у(х)]= у{х) у'(х)dх,

визначеного на просторі С⁽¹⁾ [а, Ь], якщо у₀(х) = х, а у₁(х) = х².

Розв’язання

Маємо

J[у(х)] = J[х²] - J[х] = х² 2хdх - х • 1dх = (2х³ - х)dх = =0.

Приклад 2. Знайти приріст ∆J і варіацію δJ функціоналу

J [y (x)]=

Розв’язання. Знайдемо приріст функціоналу

∆J = (у + δу)² dх - у² dх = 2уδуdх + δ²уdх.

Отже, ∆ J= 2уδуdх + δ²уdх.

Лінійний функціонал 2уδуdх по означенню і буде варіацією

функціоналу δJ = 2 уδуdх, бо δ²уdх = 0.

Приклад 3. Показати, що функціонал

J[y(x)] ⁼ у²{х)dх, визначений на просторі С_[а,_b], диференційований в кожній

точці у(х).

Розв’язання. Маємо ∆J= (у(х) + δу(х))² dх - у² {х)dх =

= 2у{х)δу(х)dх + (δу(х))² dх.

Перший інтеграл справа при кожній фіксованій функції у(х) є лінійним

відносно δу(х) функціоналом. Оцінимо другий інтеграл:

(δу(х))²dх = | δу(х) |² dх ≤ | δу{х) | dх = | δу{х) | dх = (b-а)

|| δу(х) ||² = ((b-а)||δу(х)||)||δу(х)|| .

При ||δу|| → 0 величина (b- а) ||δу||→ 0.

Отже, ∆J = L(у, δу) + α (|| δу ||), де L(у, δу) - лінійна частина приросту,

α (||δу ||)→ 0 при || δy||→0. Отже,

δJ = 2 у(х)δу(х)dx.

Зауважимо, що варіація функціонала визначається за формулою:

δJ= J(y+α δy)‌

Справді: f(х + α∆х)|_α=0 = f'(х + α∆х)∆х\_α=0 = f'(х)∆х = df(х) (диференціал

функції відповідає варіації функціонала).

Має місце також формула:

J= (F'_у - F'_у,) уdх або J (х)]= (F'_у у+F'_у ,у')dх (*).

Задачі.

Знайти варіації функціоналів трьома способами:

1. J[у(х)] = F{х,у)dх В. J = F' .

2. J[у(х)] = у⁴(х)dx, В. J = =4 y³ ydx.

3. J[у(х)] = (у³ -Зх⁴ у)dх В. J = (3y² -3х⁴) ydx.

4. J[у(х)] = y(y+x)dx В. J = (2у - х) ydх.

5. J[у(х)] = (ху + у²-2у²-у' )dх

В. J = ((х + 2у – 4yу') у - 2у³ у')dх.

6. J[у(х)] = В. J =

7. J[у(х)] = х² у' ² dх В. J = 2х²у у'dх.

8. J[у(х)] = (2ху - у'² )dх В. J = (2х у - 2у' у')dх.

9. J[у(х)] = (х² у' ²-у²)dх. Знайти ∆J і δJ.

10. J[у(х)] = у' ² sinxdx. Знайти ∆J і δJ.

11. J[у(х)] = (y'y+ ху' ² )dх. Знайти ∆J і δJ.

12. J[у(х)] = (у'е^y + ху²)dх. Знайти ∆J і δJ

Приклад 4. Знайти варіацію функціоналу:

J[у(х)] = (у'е^y + ху²)dх.

Розв'язання: Функція F(х, у, у') = у'е^у + ху² - неперервна по всіх змінних

х, у і у', має частинні похідні всіх порядків по у і у', обмежені в будь якій обмеженій області зміни змінних у і у'. Тому даний функціонал

диференційований на С_[1,-1] і його варіація дорівнює (згідно формули (*))

((у'е^у + 2ху) у + е^у у')dx.

Приклад 5. Обчислити варіацію функціонала

J[у(х)] =

Розв'язання: Ми вже знайшли, що δJ = 2 у(х) δу(х)dх.

Знайдемо варіацію по формулі δJ= J(y(x)+α δy)‌ .

J[y(х)] + αδy(х)] = (у{х) + αδy (х))²dх. Тоді J(y+α δy)‌=2 (у + α δy)δуdx

Значить,δJ= J(y+αδy)‌=2 уδуdx

Задачі. Знайти варіації функціоналів трьома способами.

13. J[у(х)] = (х + у)dх В. уdх.

14. J[у(х)] = (у² - y' ² )dх В. 2 (уδу - у' у')dх.

15.J[у(х)] = (xy+ y' ²)dх В. (хδу + 2у' у')dх.

16. J[у(х)] = у'sin ydx В. (у'соsу у + sin уδу')dх.