Интегральный закон нормального распределения выражается в o6щем виде

(1.4)

Величина F(x) определяет вероятность попадания случайной величины в интервал . Если случайная величина х подчиняется нормальному закону, то она может принимать любые численные значения в пределах , то есть вероятность попадания случайной величины в интервал равна единице

Для облегчения вычислений формулу интегрального закона нормального распределения с помощью нормирующего множителя можно привести к виду

(1.5)

Интеграл = Ф(t) называют нормированной функцией Лапласа и его значения для различных t приводят в таблицах значений функции Лапласа. При использовании этих таблиц решение задачи по определению вероятности того, что случайная величина х находится в пределах x₁ - х₂, сводится к нахождению разности между двумя значениями функции Лапласа:

.

(1.6)

Для практических применений зона рассеяния случайной величины х, подчиняющейся закону нормального распределения, ограничивают пределами и составляет . При этом и .

Следовательно, . По таблицам функции Лапласа, 2Ф(3) = 0,9973. Это означает, что вероятность нахождения случайной величины вне указанного интервала , то есть очень мала.

Распределение случайной величины по нормальному закону является следствием действия многих факторов, носящих случайный характер, имеющих примерно одинаковую степень активности и независящих или слабо зависящих один от другого. Такой комплекс условий не всегда оказывается полным. Его нарушение приводит к отклонению закона распределения от нормального.

Одной из форм таких отклонений может быть несимметричность кривой рассеяния (рисунок 1.5), характеризуемая коэффициентом асимметрии , учитывающим смещение центра группирования относительно середины поля рассеяния :

.

(1.7)

Практическое значение в технологии машиностроения имеют также закон равной вероятности и закон Симпсона.

Распределение по закону равной вероятности встречается, когда наряду со случайными факторами, вызывающими рассеяние, действует доминирующий систематический фактор, непрерывно и равномерно изменяющий во времени положение центра группирования . Графически такое распределение случайной величины отображается прямоугольником (рисунок 1.6).

Рисунок 1.5 - Несимметричное распределение случайной величины

Рисунок 1.6 - Распределение случайной величины по закону равной вероятности

Дифференциальный закон распределения или плотность вероятности

(1.8)

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение соответственно равны

(1.9)

К распределению по закону Симпсона приводит сложение двух случайных величин, подчиненных закону равной вероятности при одинаковых параметрах рассеяния. Кривая рассеяния имеет вид равностороннего треугольника (рисунок 1.7), из-за чего закон Симпсона часто называют законом треугольника.

Рисунок 1.7 - Распределение случайной величины по закону Симпсона

При выборе в качестве начала отсчета случайной величины ее центр группирования характеристики распределения имеют следующий вид:

(1.10)

.

(1.11)

Наличие характеристик распределения позволяет произвести оценку точности технологической операции. Расположение кривой распределения внутри поля допуска на изготовление детали свидетельствует о приемлемой точности (рисунок 1.8).

Необходимое условие обеспечения требуемой точности

(1.12)

Данное условие не является достаточным, поскольку центр группирования может быть смещен под действием постоянных систематических постоянных факторов (рисунок 1.9). При этом, несмотря на то, что ширина кривой меньше допуска, вероятно получение деталей с размерами за пределами допуска.

Рисунок 1.8 – Взаимное расположение кривой распределения и поля допуска при достаточной точности технологической операции

Рисунок 1.9 – Смещение кривой распределения под действием постоянных систематических факторов

Достаточное условие обеспечения требуемой точности технологической операции определяется соотношением фактического смещения s и максимально возможным смещением центра группирования относительно середины поля допуска s_max, при которой кривая распределения не выходит за пределы допуска. Граничное положение кривой показано на рисунке 1.9 штриховой линией.

(1.13)

Таким образом, для обеспечения точности технологической операции необходимо и достаточно чтобы выполнялись два условия, выражаемые формулами (1.12) и (1.13).

Выполнение условия (1.12) свидетельствует о приемлемом уровне действия случайных факторов, а выполнение условия (1.13) – о допустимом уровне действия постоянных систематических факторов.

Использование кривых распределения позволяет оценить точность технологической операции не только на качественном уровне, но и дает возможность количественной оценки. Площадь дифференциальной кривой нормального распределения, не вошедшая в поле допуска, равна вероятности получения размера в диапазоне x_min – [x_max], то есть определяет возможный процент брака (рисунок 1.10).

Рисунок 1.10 – Определение вероятности получения брака

Вероятность получения брака на основании формулы (1.6)

где - значение нормированной функци Лапласа (см. таблицу 1.1);

- определяет площадь под левой половиной кривой, вошедшей в поле допуска;

- определяет площадь под всей левой частью кривой (0,5).

Окончательно имеем выражение для определения возможного процента брака

Таблица 1.1 – Значения нормированной функции Лапласа Ф(t)

t	Ф(t)	t	Ф(t)	t	Ф(t)
0,00	0,0000	0,58	0.2190	1,40	0,4192
0,02	0,0080	0,60	0,2257	1,45	0,4265
0,04	0,0160	0,62	0,2324	1.50	0,4332
0,06	0,0239	0,64	0,23b9	1,55	0,4394
0,08	0,0319	0,66	0,2454	1,60	0,4452
0,10	0,0398	0,68	0,2517	1,65	0,4505
0,12	0,0478	0,70	0,2580	1,70	0,4554
0,14	0,0557	0,72	0,2642	1,75	0,4599
0,16	0,0636	0,74	0,2703	1,80	0,4641
0,18	0,0714	0,76	0,2764	1,85	0,4678
0,20	0,0793	0,78	0,2823	1,90	0,4713
0,22	0,0871	0,80	0,2881	1,95	0,4744
0,24	0,0948	0,82	0,2939	2,00	0,4772
0,26	0,1026	0,84	0,2995	2,10	0,4821
0,28	0,1103	0,86	0,3051	2,20	0,4861
0,30	0,1179	0,88	0,3106	2,30	0,4893
0,32	0,1255	0,90	0,3159	2,40	0,4918
0,34	0,1331	0,92	0,3212	2,50	0,4938
0,36	0,1406	0,94	0,3264	2,60	0,4953
0,38	0,1480	0,96	0,3325	2,70	0,4965
0,40	0,1554	0,98	0,3365	2,80	0,4974
0,42	0,1628	1,00	0,3413	2,90	0,4981
0,44	0,1700	1,05	0,3531	3,00	0,49865
0,46	0,1772	1,10	0,3643	3,20	0,49931
0,48	0,1844	1,15	0,3749	3,40	0,49966
0,50	0,1915	1,20	0,3849	3,60	0,499841
0,52	0,1985	1,25	0,3944	3,80	0,499928
0,54	0,2054	1,30	0,4032	4,00	0,499968
0,56	0,2123	1,35	0,4115	4,50	0,499997