3.2. Автономная подпрограмма istok1

Данная подпрограмма написана на алгоритмическом языке ФОРТРАН-4 и предназначается для проведения операции генерирования дискретизированной реализации стационарного некоррелированного многомерного /векторного/ СП, подчиняющегося заданному закону распреде­ления из числа предусмотренных в подпрограмме.

В подпрограмме содержится обращение к автономным подпрограммам-функциям GAUSS, RELEY, EXPON.

Обращение к подпрограмме имеет вид:

CALL ISTOKM(X, N, M, JPLOV P1, P2, NPP, Z0).

Здесь:

X(N, M)- массив дискретизированной с постоянным шагом по временной координате Т реализации СП Х(Т);

N- число узлов в массиве Х, относящихся к одной составляющей векторного массива СП;

М- число составляющих векторного СП;

JPLOV - признак J_f вида функции плотности вероятности f(X) СП Х(Т); J_f [1,4] /равномерному закону распределения соответ­ствует J_f = 1, нормальному закону распределения - J_f = 2, закону распределения Рэлея - J_f = 3, экспоненциальному закону распределе­ния - J_f = 4/;

PI, P2 - параметры p₁ и р₂ функции f(Х);

NPP - число N_pp предварительных прокруток алгоритма генериро­вания реализации СП Х(Т) на режиме "холостого хода" /к исполь­зованию рекомендуется значение этого параметра, составляющее при­мерно 10 % от величины параметра N/;

Z0 - начальное значение последовательности псевдослучай­ных чисел /любое целое положительное нечетное число, не превышающее 67108864/, Z₀.

Функции плотности вероятности СП Х(Т) для различных зако­нов распределения из числа рассматриваемых в программе записывают­ся в форме:

при J_f = l

при J_f = 2

при J_f = 3

при J_f = 4

Операция вычисления значении дискретизированного СП Х(Т) в подпрограмме производится по следующим рекуррентным соотношениям, реа­лизующим метод обратной функции распределения:

; ;

;

;

Под y_i,j здесь понимается 1-ый элемент j-ой последовательности псевдослучайных чисел, распределенных по равномерному закону в интервале (0, 1), под выражением INT(А)- целая часть вещественного чи­сла А, а под выражениями GAUSS(А), RELEY(A) и EXPON(А) - об­ратные -функции распределения соответственно нормального, рэлеевского и экспоненциального законов распределения, определяющие вели­чину СП Х(Т), для которой функция распределения равна А.

3.3. АВТОНОМНАЯ ПОДПРОГРАММА - ФУНКЦИЯ GAUSS

Данная подпрограмма-функция написана на алгоритмическом языке ФОРТРАН-4 и предназначается для проведения операции вычисления значения СП, подчиняющегося нормальному закону распределения, которое соответствует заданному значению функции распределения этого процесса.

Обращение к подпрограмме-функции имеет вид:

Х = GAUSS(Y, P1, P2).

Здесь:

Х - искомое значение СП;

Y - заданное значение функции распределения СП;

PI, P2 - параметры р₁- и p₂ функции плотности вероятности СП, подчиняющегося нормальному закону распределения, при записи ее в форме:

Операция вычисления значения нормального СП, соответствующего заданному значению функции распределения этого процесса, проводит­ся в подпрограмме-функции по следующим расчетным соотношениям, аппроксимирующим обратную функцию распределения:

3.4. АВТОНОМНАЯ ПОДПРОГРАММА - ФУНКЦЯ RELEY

Данная подпрограмма-функция написана на алгоритмическом языке ФОРТРАН-4 и предназначается для проведения операции вычисления значения СП, подчиняющегося рэлеевскому закону распределения, ко­торое соответствует заданному значению функции распределения этого процесса,

Обращение к подпрограмме-функции имеет вид:

Х = RELEY (Y, PI. P2 ) ,

Здесь:

Х - искомое значение СП;

Y - заданное значение функции распределения СП;

PI, P2 - параметры р₁- и p₂ функции плотности вероятности СП, подчиняющегося нормальному закону распределения, при записи ее в форме:

Операция вычисления значения нормального СП, соответствующего заданному значению функции распределения этого процесса, проводит­ся в подпрограмме-функции по следующим расчетным соотношениям, аппроксимирующим обратную функцию распределения:

3.5. АВТОНОМНАЯ ПОДПРОГРАММА-ФУНКЦИЯ EXPON

Данная подпрограмма-функция: написана на алгоритмическом языке ФОРТРАЕ-4 и предназначается для проведения операции вычисления значения СП, подчиняющегося экспоненциальному закону распреде­ления, которое соответствует заданному значению функции распре­деления этого процесса.

Обращение к подпрограмме-функции имеет вид:

Х = EXPON(Y, PI, P2).

Здесь:

Х - искомое значение СП;

Y - заданное значение функции распределения СП;

PI, P2 - параметры р₁- и p₂ функции плотности вероятности СП, подчиняющегося нормальному закону распределения, при записи ее в форме:

Операция вычисления значении дискретизированного СП Х(Т) в подпрограмме производится по следующим рекуррентным соотношениям, реа­лизующим метод обратной функции распределения:

3.6. АВТОНОМНАЯ ПОДПРОГРАММА KANON1

Данная подпрограмма написана на алгоритмическом языке ФОРТРАН-4 и предназначается для проведения операции генерирования дискретизированной реализации стационарного коррелированного одномерного /скалярного/ СП, подчиняющегося заданному закону распределения и обладающего корреляционной функцией заданного типа.

Обращение к подпрограмме имеет вид:

CALL KANON1 (X, N, Е, D, R0, NR0, А, В, С, F) .

Здесь:

X(N) - на входе в подпрограмму - массив случайных ве­личин Н_к, некоррелированных между собой, подчиняющихся заданному закону распределения и характеризующихся нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, а на выходе из подпрограммы - массив сформированной дискретизированной с постоянным шагом по временной координате Т реализации СП Х(Т), обладающей статистическими характеристиками, близкими к заданным;

N- число узлов в массиве X;

Е, D - заданные значения математического ожидания и дисперсии генерируемого СП;

R0 (NRO) - массив заданных значений нормированной корре­ляционной функции генерируемого СП, соответствующих равноотстоящим друг от друга /с шагом дискретизации реализации СП/ зна­чениям ее аргумента ;

NR0 - число узлов массиве R0;

A (NRO, NRO) - рабочая матрица;

В, С, F (NRO) - рабочие массивы.

Операция вычисления значений дискретизированного СП Х(Т), со­ответствую­щего заданному закону распределения и обладающего корре­ляционной функцией заданного типа, производится в подпрограмме в рамках метода канонических разложений .

Согласно указанному методу центрированная случайная функция разлагается в ряд вида:

(1)

где под понимаются случайные величины, некоррелированные между собой и характеризующиеся нулевым математическим ожиданием, а под - детерминированные координатные функции времени.

Простейший алгоритм реализации, метода канонических разложений для дискретной реализации функции , определенной в равноот­стоящих узлах, формируется следующим образом:

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

Здесь:

- корреляционная функция СП Х(Т), задающая /указывающая/ степень взаимосвязи между сечениями этого процесса с ко­ординатами Т_К и Т_М;

В_К - дисперсия случайной величины Н_К.

Использование данного алгоритма целесообразно только для случая формиро­вания реализации случайных функций, характеризующихся относительно небольшим числом узлов дискретизации N и соизмеримостью длины реа­лизации с интервалом корреляции случайной функции. Дело в том, что в противном случае указанный алгоритм оказывается неоправданно гро­моздким, так как при этом приходится запоминать двумерный массив координатных функций размером , большая часть которого запо­лнена нулями.

В то же самое время при решении задач воспроизведения реализаций случайных функций зачастую приходится иметь дело с реализациями, содержащими большое число узлов /несколько тысяч или даже де­сятков тысяч/, а интервалы корреляции процесса при этом обычно ока­зывается на несколько порядков меньше длины реализации.

Если корреляционная функция воспроизводимой случайной функции задана в виде:

(8)

а нормированная корреляционная функция задана последовательностью своих в общем случае ненулевых значений , , т.е.

(9)

где - шаг квантования реализации, то, как следует из анализа соотношений (5) – (7), для произвольного числа "к" область нену­левых значений координатной функции ограничена областью оп­ределения . Таким образом, координатная фун­кция в общем случае отлична от нуля только при значениях М, принадлежащих интервалу .

Но тогда формула (7) преобразуется к виду:

(10)

(11)

где под выражением МАХ(А, В) понимается максимум из величин А и В.

Таким образом, для формирования очередного к-ого значения центрированной случайной функции достаточно иметь информацию о значениях координатных функций в узлах и дисперсией, что, в свою очередь, позволяет построить систему простых рекуррентных соотношений для расчета , и .

С этой целью вводятся в рассмотрение матрица А размерности и массивы В, С и Р размерности N, предназначенные для хране­ния соответственно необходимых для проведения расчетов значений координатных функций , дисперсии В_К, случайной функции и среднеквадратических соотношений, равных .

При к = 1:

При к 2:

Если , то

.

В описанном алгоритме расчета принимается, что реализация слу­чайных величин Н_К имеет единичную дисперсию. Причем в результате проведения указанных операций значения случайной функции рас­полагаются на месте случайных величин Н_К. Необходимо только после завершения указанного рекуррентного процесса сделать присвоение ви­да:

.4. ВСПОМАГАТЕЛЬНЫЕ ПОДПРОГРАММЫ

Подпрограммы, включенные в данный раздел пакета, предназнача­ются, для выполнения следующих операций:

• масштабирования элементов одномерного массива /подпрограмма RAZM1/;

• масштабирования элементов многомерного массива /подпрограмма RAZMM/;

• нахождения минимумома функционала методом формального поиска /подпрограмма FORM/.