Приклад 2 розв’язання задачі д.6. Другий та третій рівні складності.

Однорідна кругла горизонтальна платформа радіуса R=1 м, і маси m₁=20 кг обертається з кутовою швидкістю ω₀ =8 c^-1 навколо вертикальної осі z, що проходить на відстані від центра ваги С платформи (рис. 21.19).

В момент часу t₀=0 по жолобу платформи починає рухатись під дією внутрішніх сил тягар D маси m₂=6 кг за законом . Форма жолоба—коло радіуса R (обід платформи).

Дано: m₁=20 кг; m₂=6 кг; ω₀=8 с^-1; R=1 м; b=OC=R; t₁=1 с ; м.

Визначити: кутову швидкість ω₁ платформи в момент часу t₁.

Розв’язання. Розглянемо механічну систему, що складається з платформи і тягаря D. Використаємо теорему про зміну кінетичного моменту системи відносно осі z

. (1)

Покажемо на рис. 21.19 всі зовнішні сили, що діють на систему. Оскільки всі ці сили або паралельні до осі z, або цю вісь перетинають, то

і .

Рис. 21. 19.

Розділимо змінні і проінтегруємо:

;

або . (2)

Для даної механічної системи

, (3)

де і - кінетичні моменти платформи і тягаря D відповідно.

Платформа обертається навколо нерухомої осі z:

(4)

де

Тоді

. (5)

Тягар D виконує складний рух; будемо вважати його рух по платформі відносним, а обертання самої платформи—переносним рухом. Тоді абсолютна швидкість тягаря

, (6)

де ;

Визначимо положення точки D на ободі платформи в моменти часу і с:

;

; ; (7)

;

; . (8)

Покажемо на рис. 21.19 точки D₀ і D₁, положення яких визначається кутами і відповідно.

Для положення тягаря D₁ зображаємо вектор відносної швидкості (в бік збільшення дугової координати S) і вектор переносної швидкості (в бік обертання платформи за напрямом ω₀).

За теоремою Варіньона

(9)