Приклад 1 розв’язання задачі д.6. Перший рівень складності.
Однорідна прямокутна горизонтальна платформа зі сторонами R і 2R, де R=1 м, маси m1=20 кг обертається з кутовою швидкістю ω0 =8 c-1 навколо вертикальної осі z, яка проходить через центр ваги С платформи (рис. 21.16).
В момент часу t0=0 по прямолінійному жолобу KE платформи починає рухатись під дією внутрішніх сил тягар D маси m2=6 кг за законом S=AD=f(t), де S виражено в метрах, t—в секундах. Одночасно на платформу починає діяти пара сил з моментом M=5 Нм.
Дано: m1=20 кг; m2=6 кг; ω0=8 с-1; R=1 м; b=0; M=5 Нм;
S=AD=0,3cos(2t) м.
Визначити: ω=f(t) - залежність кутової швидкості платформи від часу.
Розв’язання. Розглянемо механічну систему, що складається з платформи і тягаря D. Використаємо теорему про зміну кінетичного моменту системи відносно осі z
Рис. 21. 16.
. (1)
Покажемо на рис. 21.16 всі зовнішні сили, що діють на систему: сили ваги і , складові реакції підп’ятника B, складові реакції підшипника H і пару сил з моментом M. Оскільки всі задані сили і реакції опор або паралельні до осі z, або цю вісь перетинають, то їх моменти відносно осі z дорівнюють нулю. Тоді рівняння (1) приймає вигляд
. (2)
Розділимо змінні і проінтегруємо, враховуючи, що M =5 Нм:
;
. (3)
Для даної механічної системи
(4)
де і - кінетичні моменти платформи і тягаря D відповідно.
Платформа обертається навколо нерухомої осі z:
, (5)
де .
Тоді
. (6)
Тягар D виконує складний рух; будемо вважати його рух по платформі відносним, а обертання самої платформи—переносним рухом, тоді абсолютна швидкість тягаря
,
де
;
Покажемо на рисунку 21.16 вектор з урахуванням одержаного знака (вздовж жолоба від D до A—в бік зменшення координати S) і вектор в бік обертання платформи (в бік кутової швидкості ).
За теоремою Варіньона
Момент кількості руху ,оскільки вектор перетинає вісь z.
З рис. 21.16 знаходимо
Тоді
. (8)
Одержимо
(9)
Підставимо значення кінетичного моменту системи в рівняння (3):
(10)
Визначимо C1: при t0=0 ω=ω0=8 c-1 , тоді
; (11)
, (12)
звідки
. (13)
З урахуванням числових даних задачі
Відповідь: .
Приклад 1 розв’язання задачі Д.6. Другий рівень складності.
Однорідна прямокутна горизонтальна платформа зі сторонами R і 2R, де R=1 м, маси m1=20 кг обертається з кутовою швидкістю ω0 =8 c-1 навколо вертикальної осі z, яка відстоїть на відстані ОC=b від центра ваги С платформи (рис. 21.17).
Рис. 21. 17.
В момент часу t0=0 по прямолінійному жолобу KE платформи починає рухатись під дією внутрішніх сил тягар D маси m2=6 кг за законом S=AD=f(t), де S виражено в метрах, t—в секундах. Одночасно на платформу починає діяти пара сил з моментом M=5 Нм .
Дано: m1=20 кг; m2=6 кг; ω0=8 с-1; R=1 м; b=ОС=R; M=5 Нм; S=AD=0,3cos(2t) м.
Визначити: ω=f(t) - залежність кутової швидкості платформи від часу t.
Розв’язання. Розглянемо механічну систему, що складається з платформи і тягаря D. Використаємо теорему про зміну кінетичного моменту системи відносно осі z
. (1)
Використавши пояснення до прикладу розв’язання задачі першого рівня складності, одержимо
; (2)
. (3)
Для даної механічної системи
(4)
де і - кінетичні моменти платформи і тягаря D відповідно.
Платформа обертається навколо нерухомої осі z:
(5)
За теоремою Штейнера – Гюйгенса
Отже, одержимо
(6)
Тягар D виконує складний рух; тому його абсолютна швидкість
, (7)
де
;
Покажемо на рис. 21.17 вектор з урахуванням одержаного знака і вектор в бік обертання.
За теоремою Варіньона
тут d—перпендикуляр, опущений з осі на вектор .
Визначимо відстані d і OD. З рис. 21.17 одержимо
.
Визначимо . За теоремою сінусів з одержимо
,
звідки
.
Тоді
=0,866R;
(8)
Одержимо
Враховуючи числові дані задачі, одержимо
(9)
В рівняння (3) підставимо одержане значення кінетичного моменту :
= (10)
Визначимо C1: при t0=0 ω=ω0, тоді
;
. (11)
Одержимо
, (12)
звідки
. (13)
Відповідь: .