Приклад 1 розв’язання задачі д.6. Третій рівень складності.

Однорідна прямокутна горизонтальна платформа зі сторонами R і 2R, де R=1 м, маси m₁=20 кг обертається з кутовою швидкістю ω₀ =8 c^-1 навколо вертикальної осі z, яка відстоїть на відстані b=OC від центра ваги С платформи (рис. 21.17).

В момент часу t₀=0 по прямолінійному жолобу KE платформи починає рухатись під дією внутрішніх сил тягар D маси m₂=6 кг за законом S=AD=f(t), де S виражено в метрах, t—в секундах. Одночасно на платформу починає діяти пара сил з моментом Нм.

Дано: m₁=20 кг; m₂=6 кг; ω₀=8 с^-1; R=1 м; b=ОС=R; M=3t²+t Нм; S=AD=0,3cos(2t) м.

Визначити: ω=f(t) - залежність кутової швидкості платформи від часу t.

Розв’язання. Розглянемо механічну систему, що складається з платформи і тягаря D. Використаємо теорему про зміну кінетичного моменту системи відносно осі z

. (1)

Покажемо на рис. 21.17 всі зовнішні сили, що діють на систему. Оскільки всі задані сили і реакції опор або паралельні до осі z, або цю вісь перетинають, то їх моменти відносно осі z дорівнюють нулю. Тоді рівняння (1) приймає вигляд

;

(2)

Розділимо змінні в рівнянні (2) і проінтегруємо:

;

. (3)

Далі розв’язання задачі аналогічне наведеному в прикладі розв’язання задачі Д.6 другого рівня складності. Одержимо

(4)

,

де

; (5)

(6) (7)

(8)

В рівняння (3) підставимо знайдене значення кінетичного моменту :

. (9)

Визначимо сталу інтегрування C₁: при t₀=0 ω=ω₀, тоді

;

. (10)

Одержимо

, (11)

звідки

. (12)

Відповідь: .

Приклад 2 розв’язання задачі Д.6. Перший рівень складності.

Однорідна кругла горизонтальна платформа радіуса R=1 м і маси m₁=20 кг обертається з кутовою швидкістю ω₀ =8 c^-1 навколо вертикальної осі z, що проходить через центр ваги С платформи (рис. 21.18).

Рис. 21. 18.

В момент часу t₀=0 по жолобу платформи починає рухатись під дією внутрішніх сил тягар D маси m₂=6 кг за законом . Форма жолоба—коло радіуса R (обід платформи).

Дано: m₁=20 кг; m₂=6 кг; ω₀=8 с^-1; R=1 м; b=0; м; t₁=1 с.

Визначити: кутову швидкість ω₁ платформи в момент часу t₁.

Розв’язання. Розглянемо механічну систему, що складається з платформи і тягаря D. Використаємо теорему про зміну кінетичного моменту системи відносно осі z

. (1)

Покажемо на рис. 21.18 всі зовнішні сили, що діють на систему: сили ваги і , складові реакції підп’ятника B, складові реакції підшипника H. Оскільки всі ці сили або перетинають вісь z, або до неї паралельні, то

, і . (2)

Для даної механічної системи

, (3)

де і - кінетичні моменти платформи і тягаря D відповідно.

Платформа обертається навколо нерухомої осі z:

(4)

де .

Тоді

(5)

Тягар D виконує складний рух; будемо вважати його рух по платформі відносним, а обертання самої платформи—переносним рухом, тоді абсолютна швидкість тягаря

, (6)

де

;

.

Визначимо положення точки D на ободі платформи в моменти часу і с:

;

; ; (7)

;

; .

Покажемо на рисунку 21.18 точки D₀ і D₁, положення яких визначається кутами і відповідно.

Для положення тягаря D₁ зображаємо вектор відносної швидкості (в бік збільшення дугової координати S) і вектор переносної швидкості (в бік обертання платформи за напрямом ω₀).

За теоремою Варіньона

(9)

Тоді одержимо

(10)

Підставимо значення кінетичного моменту в рівняння (2):

. (11)

При t₀=0 ω=ω₀, тоді

; (12)

, (13)

звідки

. (14)

При t₁=1 с

с^-1.

Відповідь: ω₁=8,79 с^-1.