Приклад 1 розв’язання задачі д.6. Перший рівень складності.

Однорідна прямокутна горизонтальна платформа зі сторонами R і 2R, де R=1 м, маси m₁=20 кг обертається з кутовою швидкістю ω₀ =8 c^-1 навколо вертикальної осі z, яка проходить через центр ваги С платформи (рис. 21.16).

В момент часу t₀=0 по прямолінійному жолобу KE платформи починає рухатись під дією внутрішніх сил тягар D маси m₂=6 кг за законом S=AD=f(t), де S виражено в метрах, t—в секундах. Одночасно на платформу починає діяти пара сил з моментом M=5 Нм.

Дано: m₁=20 кг; m₂=6 кг; ω₀=8 с^-1; R=1 м; b=0; M=5 Нм;

S=AD=0,3cos(2t) м.

Визначити: ω=f(t) - залежність кутової швидкості платформи від часу.

Розв’язання. Розглянемо механічну систему, що складається з платформи і тягаря D. Використаємо теорему про зміну кінетичного моменту системи відносно осі z

Рис. 21. 16.

. (1)

Покажемо на рис. 21.16 всі зовнішні сили, що діють на систему: сили ваги і , складові реакції підп’ятника B, складові реакції підшипника H і пару сил з моментом M. Оскільки всі задані сили і реакції опор або паралельні до осі z, або цю вісь перетинають, то їх моменти відносно осі z дорівнюють нулю. Тоді рівняння (1) приймає вигляд

. (2)

Розділимо змінні і проінтегруємо, враховуючи, що M =5 Нм:

;

. (3)

Для даної механічної системи

(4)

де і - кінетичні моменти платформи і тягаря D відповідно.

Платформа обертається навколо нерухомої осі z:

, (5)

де .

Тоді

. (6)

Тягар D виконує складний рух; будемо вважати його рух по платформі відносним, а обертання самої платформи—переносним рухом, тоді абсолютна швидкість тягаря

,

де

;

Покажемо на рисунку 21.16 вектор з урахуванням одержаного знака (вздовж жолоба від D до A—в бік зменшення координати S) і вектор в бік обертання платформи (в бік кутової швидкості ).

За теоремою Варіньона

Момент кількості руху ,оскільки вектор перетинає вісь z.

З рис. 21.16 знаходимо

Тоді

. (8)

Одержимо

(9)

Підставимо значення кінетичного моменту системи в рівняння (3):

(10)

Визначимо C₁: при t₀=0 ω=ω₀=8 c^-1 , тоді

; (11)

, (12)

звідки

. (13)

З урахуванням числових даних задачі

Відповідь: .

Приклад 1 розв’язання задачі Д.6. Другий рівень складності.

Однорідна прямокутна горизонтальна платформа зі сторонами R і 2R, де R=1 м, маси m₁=20 кг обертається з кутовою швидкістю ω₀ =8 c^-1 навколо вертикальної осі z, яка відстоїть на відстані ОC=b від центра ваги С платформи (рис. 21.17).

Рис. 21. 17.

В момент часу t₀=0 по прямолінійному жолобу KE платформи починає рухатись під дією внутрішніх сил тягар D маси m₂=6 кг за законом S=AD=f(t), де S виражено в метрах, t—в секундах. Одночасно на платформу починає діяти пара сил з моментом M=5 Нм .

Дано: m₁=20 кг; m₂=6 кг; ω₀=8 с^-1; R=1 м; b=ОС=R; M=5 Нм; S=AD=0,3cos(2t) м.

Визначити: ω=f(t) - залежність кутової швидкості платформи від часу t.

Розв’язання. Розглянемо механічну систему, що складається з платформи і тягаря D. Використаємо теорему про зміну кінетичного моменту системи відносно осі z

. (1)

Використавши пояснення до прикладу розв’язання задачі першого рівня складності, одержимо

; (2)

. (3)

Для даної механічної системи

(4)

де і - кінетичні моменти платформи і тягаря D відповідно.

Платформа обертається навколо нерухомої осі z:

(5)

За теоремою Штейнера – Гюйгенса

Отже, одержимо

(6)

Тягар D виконує складний рух; тому його абсолютна швидкість

, (7)

де

;

Покажемо на рис. 21.17 вектор з урахуванням одержаного знака і вектор в бік обертання.

За теоремою Варіньона

тут d—перпендикуляр, опущений з осі на вектор .

Визначимо відстані d і OD. З рис. 21.17 одержимо

.

Визначимо . За теоремою сінусів з одержимо

,

звідки

.

Тоді

=0,866R;

(8)

Одержимо

Враховуючи числові дані задачі, одержимо

(9)

В рівняння (3) підставимо одержане значення кінетичного моменту :

= (10)

Визначимо C₁: при t₀=0 ω=ω₀, тоді

;

. (11)

Одержимо

, (12)

звідки

. (13)

Відповідь: .