
Задача д.6
Умова задачі. Однорідна горизонтальна платформа (кругла радіуса R або прямокутна зі сторонами R і 2R, де R=1,5 м) маси m1=30 кг обертається з кутовою швидкістю ω0=10 с-1 навколо вертикальної осі z, яка відстоїть від центра мас C на відстані OC=b (рис. Д.6.0.—Д.6.9, таблиця 16. Умови задач Д.6.0.—Д.6.9, таблиця 17. Умови задач Д.6.0.А—Д.6.9.А, таблиця 18. Умови задач Д.6.0.Б—Д.6.9.Б). Розміри для всіх прямокутних платформ показані на рис. Д.6.0,а (вид зверху).
В момент часу t0 =0 по жолобу платформи починає рухатись (під дією внутрішніх сил) тягар D маси m2=10 кг за законом S=AD=f(t), де S виражено в метрах, t—в секундах. Одночасно на платформи, які зображені на рис. Д.6.0—Д.6.4 починає діяти пара сил з моментом M, який задано в Ньютон-метрах. При M<0 його напрям протилежний показаному на рисунках. Для платформ, які показані на рис. Д.6.5—Д.6.9, M=0.
Визначити:
для платформ, які зображені на рис. Д.6.0
-Д.6.4, залежність
, тобто кутову швидкість платформи, як
функцію часу; для платформ, які зображені
на рис. Д.6.5—Д.6.9, кутову швидкість ω1
платформи
в момент часу
t1=1
c.
Форма
жолоба на рис. Д.6.0—Д.6.4 прямолінійна
(жолоб KE),
на рис. Д.6.5—Д.6.7—коло радіуса
R
(обід
платформи), а на рис. Д.6.8 - Д.6.9 – коло
радіуса
r=0,5R.
На
всіх рисунках тягар D
показаний в положенні, при якому S>0.
Коли
S<0,
тягар
D
знаходиться з протилежного боку від
точки А.
На рис. Д.6.5—Д.6.9 відстань
відлічується по дузі кола. При розв’язанні
задачі краще робити вигляд платформи
зверху і провести вісь
z
на
заданій відстані
OC=b
від
центра
C.
Якщо
OC=b=0,
то
вісь
z
проходить
через точку
С—центр
платформи.
Методичні вказівки. Задача Д.6—на застосування теореми про зміну кінетичного моменту системи відносно осі z:
,
де
Kz—кінетичний
момент системи відносно осі обертання
z.
Величина
Kz
визначається
як сума кінетичних моментів
платформи
і тягаря. При цьому необхідно врахувати,
що абсолютна швидкість
тягаря складається геометрично з
відносної швидкості
і переносної швидкості
:
.
А тому і кількість руху тягаря визначається за формулою
.
Скориставшись теоремою Варіньона, можна записати для кінетичного моменту тягаря
.
Сума
моментів зовнішніх сил
в даній задачі дорівнює тільки моменту
пари сил M
для рис. Д.6.0—Д.6.4,
тому для них
.
В цих варіантах в останньому рівнянні необхідно розділити змінні і проінтегрувати, враховуючи, що
,
де у загальному випадку для прямокутної платформи момент інерції відносно осі обертання визначається за теоремою Штейнера—Гюйгенса так:
;
,
а для круглої платформи
;
.
Кінетичний момент тягаря:
,
де
,
.
Рисунки до задач Д. 6. 0. – Д. 6. 3.
Рисунки до задач Д. 6. 4 – Д. 6. 9.
У випадку, коли М=0 (рис. Д.6.5—Д.6.9) і необхідно обчислити ω1, потрібно скористатись законом збереження кінетичного моменту
,
де
- кінетичний
момент системи при
t0=0,
-
кінетичний
момент системи в момент часу
t1.
При
цьому спочатку необхідно знайти і
показати на рисунку положення D0
і D1
тягаря
в моменти часу t0=0
і
t1
відповідно.
За правильне розв’язання задачі Д.6 з використанням даних таблиці 16. Умови задач Д.6.0—Д.6.9 студент одержує оцінку “задовільно”. За правильне розв’язання задачі Д.6 з використанням даних таблиці 17. Умови задач Д.6.0.А—Д.6.9.А студент одержує оцінку “добре”, а з використанням таблиці 18. Умови задач Д.6.0.Б—Д.6.9.Б—оцінку “відмінно”.