5.Криві другого порядку.

Кривими лініями другого порядку називають лінії, координати точок яких задовольняють рівняння другого степеня.

5.1. Коло. Еліпс.

Означення 6. Колом називається геометричне місце точок, рівновіддалених на відстань R від фіксованої точки – центра кола. Рівняння кола: (x-x₀)² + (y-y₀)² = R².

Якщо центр кола знаходиться в точці О(0,0), тоді рівняння кола спрощується і набуває вигляду: x² + y² = R², де R – радіус кола.

Означення 7. Еліпсом називається геометричне місце точок, сума відстаней яких до двох заданих точок (фокусів) дорівнює постійній величині 2а.

Знайдемо рівняння еліпса. Позначимо через F₁ та F₂ фокуси еліпса. Вісь абсцис Оx проведемо через фокуси F₁ та F₂, а вісь Оy проведемо через середину відрізка [F₁, F₂] перпендикулярно до осі Оx.

Позначимо відстань між фокусами 2с. У такій системі координат F₁(-c, 0), F₂(c, 0), 2a>2c. Візьмемо довільну точку М(x ,y) еліпса. За означенням еліпса маємо: .

Але , тому одержуємо рівняння вигляду: .

Після спрощування цього рівняння одержимо: .

Згідно нерівності a² > c² можна позначити b² = a² – c2. Тоді рівняння еліпса набуває вигляд: .

Це рівняння називають канонічним рівнянням еліпса. Дослідження рівняння еліпса дозволяє зробити висновки, що параметри рівняння а та b дорівнюють півосям еліпса, що розташовані на осях координат Оx та Оy відповідно.

5.2. Гіпербола

Означення 8. Гіперболою називають геометричне місце точок, абсолютна величина різниці відстаней яких до двох заданих точок (фокусів) дорівнює постійній величині 2а.

Канонічне рівняння гіперболи має вигляд:

5.3. Парабола

Означення 9. Параболою називають геометричне місце точок, відстань яких до заданої прямої (директриси) та заданої точки (фокуса) рівні.

Канонічне рівняння параболи має вигляд: y² = 2px, де р – відстань між фокусом F та директрисою.

ІІІ. Завдання контрольної роботи

Завдання 1

Задано прямі і точка М.

Знайти:

1. Точку перетину прямих ;

2. Рівняння прямої , що проходить через точку M паралельно прямій ;

3. Рівняння прямої , що проходить через точку M перпендикулярно до прямої ;

4. Відстань від точки M до прямої : (M , ).

Усі результати ілюструвати графічно.

Варіанти завдань:

Завдання 2

Задано рівняння площини прямої і точка M.

Знайти:

1. Рівняння площини що проходить через точку М паралельно площині ;

2. Рівняння площини , що проходить через точку М перпендикулярно до прямої ;

3. Рівняння , що проходить через точку М перпендикулярно до площини ;

4. Рівняння , що проходить через точку М паралельно прямій ;

5. Точку N перетину прямої і площини ;

6. Відстань від точки М до площини .

Варіанти завдань:

1.

2.

3.

4.

5.