3. Перевод чисел без знака из одной позиционной системы счисления в другую.

3.1 Формы представления чисел со знаком

Для представления чисел со знаком в ЭВТ применяются различные коды (двоичные): прямой код; обратный код; дополнительные; модифицированные коды; смещенные коды.

I. Прямой код.

; (1)

Где G – двоичное число со знаком; G_пр – прямой код числа; А – вес старшего разряда в разрядной сетке, представление числа со знаком.

, где n – размер разрядной сетки.

Согласно формуле (1) прямой код двоичного числа со знаком получается следующим образом:

1. Для положительных чисел – в знаковом разряде «0», в числовых разрядах само двоичное число.

2. Для отрицательных чисел – в знаковом разряде «1», в числовых разрядах само двоичное число.

Например: ; , тогда ; ; ; .

В современных ПЭВМ прямой код применяется для представления мантиссы числа с плавающей точкой.

Представление G₁ в разрядных сетках с помощью прямого кода:

II. Обратный код.

; (2)

Где G – двоичное число со знаком; G_обр – обратный код двоичного числа; В – наибольшее число, которое может поместиться в разрядную сетку.

Обратный код двоичного числа со знаком получается по следующим правилам:

1. Для положительных чисел – в знаковом разряде «0», в числовых разрядах само двоичное число.

2. Для отрицательных чисел – в знаковом разряде «1», в числовых разрядах инверсия двоичного числа.

В общем случае , где n – размер разрядной сетки.

Например: ; , тогда ; ; ; .

В современных ПЭВМ обратный код применяется для представления чисел с фиксированной точкой.

III. Дополнительный код.

; (3)

Где G – двоичное число со знаком; G_доп – дополнительный код двоичного числа; С – вес разряда, следующего за старшим разрядом в разрядной сетке.

Правило получения дополнительного кода:

1. Для положительных чисел – в знаковом разряде «0», в числовых разрядах само число.

2. Для отрицательных чисел – в знаковом разряде «1», в числовых разрядах инверсия числа, плюс единица к младшему числовому разряду.

Например: ; , тогда ; ; ; отсутствует.

Дополнительный код – наиболее распространенный код для представления чисел со знаком в современной ЭВТ. Он применяется для представления числа с фиксированной точкой, а также для представления мантиссы чисел с плавающей точкой.

IV. Модифицированные коды и переполнение разрядной сетки.

При сложении двоичных кодов возможно появление переноса в старшие разряды по правилам двоичного сложения. Это явление называется переполнением разрядной сетки. Для решения этой проблемы используются модифицированные, а также разрабатываются правила для сложения чисел в прямом, обратном или дополнительном коде.

В модифицированных кодах под знак определяется два разряда (два бита). В ЭВМ применяются модифицированные прямые, обратные или дополнительные коды.

Например: ; .

В определенной группе процессоров применяются модифицированные коды. Проблема переполнения разрядной сетки также решается за счет правил сложения двоичных чисел со знаком.

V. Смещенные коды.

В современной ЭВТ применяются: смещенный код с «положительным» и «отрицательным» нулем.

Смещенный код с «положительным» нулем.

; (4)

А – смещение, соответствующее весу старшего разряда в разрядной сетке (аналогично прямому коду).

Смещенный код с «положительным» нулем получается по следующим правилам:

1. Для положительных чисел – в знаковом разряде «1», в числовых разрядах само число.

2. Для отрицательных чисел – в знаковом разряде «0», в числовых разрядах инверсия числа, плюс единица к младшему к младшему разряду.

Смещенный код с «отрицательным» нулем.

; (5)

Согласно формуле (5) смешенный код с «отрицательным» нулем получается из смещенного кода с «положительным» нулем при вычитании из младшего числового разряда единицы. Это правило действительно для положительных и отрицательных чисел.

Например: ; , тогда ; ; ; – отсутствует; ; – отсутствует; ; .