3.5.6. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки

Движение материальной точки массой относительно инерциальной системы отсчета описывается основным уравнением динамики , которое представим как

,

где - равнодействующая всех сил, действующих на точку.

Умножим обе части этого уравнения на :

; .

Учитывая, что (смотри вывод зависимости (103), аналогичной с математической точки зрения с данным равенством), имеем:

,

где - сумма элементарных работ всех сил на элементарном перемещении точки .

Интегрируя левую и правую части этого уравнения в соответствующих пределах, получим:

. (108)

Здесь и - значения скорости точки в ее начальном и конечном положениях, - работа всех действующих на точку сил на перемещении .

Уравнение (108) выражает теорему об изменении кинетической энергии материальной точки: изменение кинетической энергии материальной точки на некотором ее перемещении равно сумме работ всех сил, приложенных к точке, на этом перемещении.

3.5.7. Теорема об изменении кинетической энергии системы

Доказанная выше теорема справедлива для любой точки механической системы. Применяя уравнение (108) для некоторой точки системы, получим:

;

где и - начальная и конечная скорости -ой точки на некотором перемещении, и - суммы работ всех внешних и внутренних сил, действующих на точку на этом перемещении.

Составляя такие уравнения для всех точек системы и складывая их почленно, получим:

,

или

. (109)

Здесь и - значения кинетической энергии системы в начале и конце ее перемещения.

Уравнение (109) выражает теорему об изменении кинетической энергии механической системы: изменение кинетической энергии механической системы на некотором ее перемещении равно сумме работ всех действующих на систему внешних и внутренних сил на этом перемещении.

Продифференцировав обе части уравнения (109) по времени и учитывая, что , а также формулу (99), получим:

, (110)

где и - суммы мощностей всех внешних и внутренних сил.

Уравнение (110) выражает теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме: производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей всех действующих на систему внешних и внутренних сил.

В отличие от ранее рассмотренных общих теорем динамики системы, позволяющих в какой-то мере не учитывать действие внутренних сил, последняя теорема требует учета их действия. Однако, если рассматриваемая механическая система является неизменяемой (в частности, если рассматривается твердое тело), то сумма внутренних сил в этом случае равна нулю и в уравнениях (109) и (110) в правых частях остаются лишь первые слагаемые.

3.5.8. Потенциальное силовое поле

Часть пространства, в котором на находящуюся там материальную точку действует сила, зависящая только от положения точки, то есть от ее координат , называется силовым полем. Примерами силовых полей являются поля силы тяжести, силы упругости, а также электрические и магнитные поля.

Если работа сил поля при движении в нем материальной точки не зависит от ее траектории, а также закона движения по этой траектории из одного положения в другое, то такое поле называется потенциальным силовым полем, а действующие в нем силы называются потенциальными.

Примерами потенциальных сил являются силы тяжести и силы упругости (смотри пункт 3.5.4).

Если же работа силы, действующей на точку, зависит от ее траектории, то такая сила называется непотенциальной. К ним относятся, например, силы трения.

Для точки или системы, находящихся в потенциальном поле, вводится понятие потенциальной энергии , как величины, численно равной работе по перемещению силами поля точки или системы из данного положения в так называемое нулевое положение. Это положение, в котором потенциальная энергия принимается равной нулю, выбирается произвольно.

Поскольку работа в потенциальном поле зависит только от начального и конечного положений системы, то после выбора нулевого положения и переноса в эту точку начала координат, потенциальная энергия будет однозначной функцией координат точек системы в данном положении. Таким образом:

. (111)

Чтобы определить потенциальную энергию системы в некотором положении , надо вычислить работу сил поля, действующих на точки системы при перемещении ее из этого положения в нулевое, то есть

. (112)

Здесь - работа сил поля, приложенных к -ой точке на данном перемещении .

Рассмотрим поля известных нам сил. Пусть некоторое твердое тело весом находится в поле силы тяжести (рис. 28). Выберем систему отсчета с осью , направленной вертикально вверх. Обозначим - координаты центра масс тела в положении . За нулевое выберем положение тела, в котором его центр масс совпадает с любой точкой горизонтальной плоскости . Этому положению и соответствует нулевой уровень потенциальной энергии.

В соответствии с формулой (101), при перемещении тела из положения в нулевое положение работа силы тяжести равна:

.

Поэтому потенциальная энергия твердого тела в поле силы тяжести равна

. (113)

Теперь рассмотрим материальную точку, на которую действует сила упругости пружины. За нулевое положение примем положение точки, в котором деформация пружины равна нулю. Тогда в соответствии с формулой (104) при перемещении точки из данного положения в нулевое сила упругости совершит работу

,

где - коэффициент жесткости пружины, а - удлинение или сжатие пружины в данном положении.

Поэтому потенциальная энергия точки в поле силы упругости равна

. (114)

Выразим работу потенциальных сил через потенциальную энергию. Для этого рассмотрим некоторые положения системы и . Так как работа сил потенциального поля не зависит от вида траекторий точек системы, то работа на перемещении системы из положения в нулевое положение будет равна работе на перемещении через положение , что выразится следующим образом:

,

где и - суммы работ сил поля на перемещениях системы из положений и в нулевое положение, - сумма работ сил поля на перемещении системы из положения в положение .

Учитывая формулу (112), получим:

. (115)

Таким образом, работа потенциальных сил равна разности значений потенциальной энергии в начальном и конечном положениях системы. При перемещении по замкнутому контуру работа этих сил обращается в нуль, так как в этом случае .