3.5.2. Кинетическая энергия твердого тела
Используя общую формулу (85) можно получить выражения для кинетической энергии твердого тела при различных случаях его движения.
А) Поступательное движение.
При поступательном движении твердого тела скорости всех его точек, в том числе и скорость его центра масс, одинаковы, поэтому:
;
,
.
Тогда кинетическая энергия тела будет равна:
.
(88)
Кинетическая энергия тела вычисляется как для точки (центра масс тела), в которой сосредоточена вся масса тела.
Б) Вращение вокруг неподвижной оси.
В
этом случае модуль скорости любой точки
тела будет равен
(смотри тему 2.2), а кинетическая энергия
тела выразится как:
,
(89)
где - момент инерции тела относительно оси вращения (см. тему 3.4 формула (75)).
Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна половине произведения его осевого момента инерции на квадрат угловой скорости.
В) Плоское движение.
Из кинематики (смотри тему 2.4) известно, что плоское движение можно рассматривать как сложное, состоящее из поступательного движения вместе с полюсом (за который мы здесь выбираем центр масс тела ) и вращательного движения вокруг оси, проходящей через полюс (центр масс). Тогда на основании теоремы Кенига можно написать:
.
(90)
Кинетическая энергия твердого тела, совершающего плоское движение, равна арифметической сумме кинетической энергии поступательного движения тела вместе с центром масс и кинетической энергии его вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс.
3.5.3. Работа и мощность силы
Работой силы называется мера действия силы на некотором перемещении точки ее приложения.
Пусть
точка
под действием приложенной к ней силы
движется по некоторой траектории,
выбранной за криволинейную координатную
ось
(рис. 24). Тогда элементарная
работа силы
может быть представлена следующей
скалярной величиной:
,
(91)
где
- модуль дифференциала дуговой координаты
,
модуль
вектора силы.
Элементарная
работа здесь обозначается
,
а не
,
так как в общем случае она может не
являться полным дифференциалом функции
координат
.
Формулу (91) можно представить в виде скалярного произведения
,
(92)
где
- вектор элементарного перемещения
точки
за время
,
направленное так же, как и вектор скорости
точки
.
Это следует из соотношения
,
полученного из известной формулы
.
При этом полагаем, что
.
Наконец,
обозначая проекции силы
на оси координат
как
,
а проекции элементарного перемещения
как
,
можно записать выражение для элементарной
работы в следующем виде:
.
(93)
Работа
силы
на конечном перемещении точки между
положениями на траектории
и
определяется как интегральная сумма
элементарных работ, то есть как
криволинейный интеграл от элементарной
работы, взятый по дуге
траектории:
.
(94)
Эта работа в общем случае может быть вычислена, если известен закон движения точки по траектории; причем если сила является функцией только координат точки, то тогда достаточно иметь уравнение траектории точки в параметрической форме, то есть:
.
Допустим,
что на точку действует система сил
.
Тогда элементарная работа равнодействующей
в соответствии с (92) будет равна:
.
(95)
Но
так как 
,
(96)
то получим:
,
(97)
где
- элементарная работа составляющей силы
.
Интегрируя обе части равенства (97) по дуге , получим:
,
(98)
то есть работа равнодействующей системы сил, приложенных к данной точке, равна алгебраической сумме работ составляющих сил.
Мощностью силы называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. Эта величина определяется следующим образом:
.
(99)