3.4.5. Теоремы об изменении кинетического момента системы относительно неподвижных центра и оси

Рассмотрим механическую систему, состоящую из материальных точек и движущуюся относительно инерциальной системы отсчета под действием системы внешних и внутренних сил. Движение системы описывается системой дифференциальных уравнений (51).

Сложим почленно левые и правые части этих уравнений, предварительно умножив каждое из них векторно слева на соответствующий радиус-вектор , где .

Тогда получим

. (79)

Вычислим производную по времени от количества движения -ой точки:

.

Здесь учтено, что и , поскольку векторное произведение коллинеарных векторов и равно нулю.

Если обозначить ; , то сумма уравнений (79) может быть записана в виде:

, или

. (80)

Здесь учтена формула (70), а также следующее обстоятельство: складывая попарно моменты всех внутренних сил системы и учитывая, что в соответствии с третьим законом механики они попарно равны по модулю и противоположны по направлению, имеем , то есть геометрическая сумма всех внутренних сил (главный момент) для системы равна нулю.

Уравнение (80) выражает теорему об изменении кинетического момента механической системы: производная по времени от кинетического момента системы относительно неподвижного центра равна геометрической сумме моментов (главному моменту) всех внешних сил относительно того же центра.

Проектируя обе части уравнения (80) на неподвижные оси , получим с учетом (72) три алгебраические уравнения:

, , , (81)

где - кинетические моменты системы относительно осей , а , , - главные моменты внешних сил относительно тех же осей.

Из доказанной теоремы вытекают следующие следствия:

1) Внутренние силы непосредственно не влияют на изменение кинетического момента системы. Это вытекает из того, что главный момент всех внутренних сил для системы равен нулю (см. вывод уравнения (80)).

2) Если , то и .

Если главный момент внешних сил относительно неподвижного центра равен нулю, то кинетический момент системы относительно того же центра сохраняется постоянным.

3) Если , то и .

Если главный момент внешних сил относительно неподвижной оси равен нулю, то кинетический момент системы относительно той же оси сохраняется постоянным.

Последние два следствия называются законами сохранения кинетического момента системы.

Практическим преимуществом доказанной теоремы является то, что моменты внутренних сил непосредственно не влияют на изменение кинетического момента системы.

3.4.6. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси

Р ассмотрим некоторое твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси , и на которое действуют система внешних сил и реакции опор и (рис. 20).

Для решения задачи о вращении этого тела используем теорему об изменении кинетического момента системы относительно оси (третье уравнение системы (81)):

. (82)

Кинетический момент этого тела согласно (76) равен .

Поскольку момент инерции является постоянной величиной, то уравнение (82) можно записать в форме:

. (83)

Это уравнение называется дифференциальным уравнением вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Используя формулы кинематики , перепишем уравнение (83) в виде:

. (84)

Сравним уравнение (84) с дифференциальным уравнением поступательного движения твердого тела, например, в направлении оси (первое уравнение системы (66)). Если при поступательном движении силовым фактором является проекция главного вектора внешних сил на ось , то при вращении – главный момент внешних сил относительно оси ; аналог же линейного ускорения центра масс тела – угловое ускорение . Аналогом массы тела, как меры инертности тела при его поступательном движении, является момент инерции , как мера инертности тела при его вращении вокруг неподвижной оси. С помощью дифференциальных уравнений (83) и (84) можно решать как прямую, так и обратную задачи динамики вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.