2.1.6. Пример решения задачи на кинематику точки

Пример. 4. Точка движется в плоскости согласно уравнениям , где координаты измеряются в метрах, а время - в секундах. Определить траекторию точки, а для момента времени найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории в соответствующей точке.

Решение. Для определения уравнения траектории исключим из уравнений движения время . Тогда из первого уравнения движения получим:

, подставляя это уравнение во второе уравнение движения, определим уравнение траектории

. (а)

Это выражение представляет собой уравнение параболы (рис. 30), вершина которой находится в точке , а ветви – симметричны относительно оси . При . C возрастанием отрицательные значения координат и также возрастают. Это значит, что точка движется из вершины параболы по ее левой ветви.

Точка на рисунке 30 изображает начальное положение точки , а - ее положение в момент времени , когда координаты равны .

Модули скорости и ускорения точки определим по формулам (46), (59).

,

. (б)

; .

Касательное ускорение определяем дифференцированием выражения (б) для скорости:

.

.

Получили, что , это означает, что движение точки ускоренное и, следовательно, направления и совпадают.

Определяем нормальное ускорение точки в данный момент времени

.

Радиус кривизны траектории в положении , где при находится точка , равен

.

Воспользовавшись уравнением (1) вычерчиваем траекторию (рис.30) изображаем на ней положение точки в заданный момент времени. По составляющим и строим вектор , причем он должен быть направлен по касательной к траектории точки. По составляющим и строим вектор (рис.30).

Вопросы для самопроверки к теме 2.1

1. Какими способами задается движение точки?

2. Установите связь между векторными и координатными способами задания движения точки.

3. Установите, как по уравнениям движения точки определяется уравнение траектории; как определяется закон движения по траектории.

4. Определите скорость точки при векторном и координатном способах задания движения.

5. Определите скорость точки при естественном способе здания ее движения.

6. Определите ускорение точки векторным и координатным способами.

7. Что характеризуют скорость точки, ускорение точки?

8. Определите векторы , точки при ее прямолинейном движении.

9. Перечислите естественные оси, их орты и соответствующие плоскости.

10. Чем орты естественных осей отличаются от ортов осей неподвижной декартовой системы отсчета?

11. Что характеризует касательное ускорение?

12. Как движется точка при ?

13. Что характеризует нормальное ускорение?

14. Как движется точка при ?

15. Выразите средствами кинематики закон инерции.

16. Какое движение точки называется равноускоренным, равнозамедленным?

17. Назовите кривые, имеющие постоянный радиус кривизны.

18. Дайте определение кривизны траектории, радиуса кривизны траектории в данной точке.

19. Решите самостоятельно задачи 12.4, 12.5, 12.9, 12.14, 12.22, 12.25 из [3].