2.1.5. Проекции вектора ускорения точки на естественные оси

Рассмотрим точку , движущуюся по заданной пространственной траектории согласно уравнению . В момент времени , точка занимает положение , определяемое координатой , а в момент - положение , определяемое координатой . Обозначим векторы скоростей в положениях и через и , а орты касательных в этих положениях через и . (рис.28)

В соответствии с формулами (50) и (53) ускорение точки равно .

В общем случае оба сомножителя под знаком производной переменны (орт меняет свое направление), и поэтому имеем

. (61)

Представим векторную производную в виде

. (62)

Найдем модуль и направление вектора . По определению векторной производной . Модуль вектора равен

, где - приращение модуля орта за время .

Из равнобедренного треугольника (рис.28) с учетом , находим:

, (63)

где – угол смежности, соответствующий дуге (дуге ).

Отношение называется средней кривизной между точками и .

Предел величины при называется кривизной кривой в данной точке :

. (64)

Радиусом кривизны кривой в данной точке называется величина . (65)

Отложив от точки отрезок (рис 27), найдем центр кривизны кривой в точке . Напомним, что радиус кривизны окружности в любой ее точке равен радиусу. Для прямой линии кривизна , а радиус кривизны .

Продолжим определение модуля вектора с учетом (63), (64), (65):

.

Здесь учтено, что .

Итак, имеем: . (66)

Направление вектора совпадает с предельным направлением вектора . Вектор направлен так же, как вектор , т.е. по стороне параллелограмма . При угол также стремится к нулю, угол стремится к , а плоскость параллелограмма неограниченно приближается к соприкасающейся плоскости. Следовательно, вектор лежит в соприкасающейся плоскости. Действительно, дифференцируя тождество по , получим , что означает взаимную перпендикулярность векторов и

Итак, вектор направлен по главной нормали траектории в точке :

. (67)

Отметим, что вектор направлен по орту в сторону вогнутости траектории, как при положительных, так и при отрицательных значениях координаты .

Учитывая зависимости (67) и (62), получим

. (68)

Тогда формула (61) с учетом того, что , примет вид

. (69)

Таким образом, ускорение точки может быть представлено в виде геометрической суммы двух составляющих ускорений: ускорения, направленного по касательной к траектории и называемого касательным или тангенциальным , и ускорения, направленного по главной нормали и называемого нормальным .

Следовательно, формулу (69) можно представить в виде:

. (70)

Скалярные множители в (69) являются проекциями и ускорения точки на касательную и главную нормаль:

, (71)

. (72)

Модуль касательного ускорения равен

. (73)

Из зависимостей (69), (70) видно, что вектор ускорения точки лежит в соприкасающейся плоскости и на бинормаль не проектируется .

Касательное ускорение характеризует быстроту изменения вектора скорости по модулю и направлено в сторону скорости при ускоренном движении точки (рис.29а) и в обратную сторону - при её замедленном движении (рис 29б).

Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения вектора скорости по направлению и направлено всегда в сторону вогнутости траектории. При движение точки будет равномерным; при точка движется прямолинейно.

Поскольку векторы и взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения равен

. (74)