1.4.3. Равновесие системы тел

В некоторых задачах статики приходится исследовать равновесие системы нескольких связанных между собой твердых тел. Для их решения применяют метод расчленения, в соответствии с которым систему мысленно расчленяют на отдельные тела и рассматривают равновесие каждого тела в отдельности. При этом необходимо учитывать силы, с которыми тела, входящие в систему тел, действуют друг на друга. Силы взаимодействия между телами данной системы называются внутренними. Согласно третьему закону Ньютона внутренние силы попарно равны по модулю и противоположны по направлению. Силы, с которыми на данную систему тел действуют другие тела, в нее не входящие, называются внешними. Отметим, что в число внешних и внутренних сил могут входить как активные силы, так и реакции связей.

Если система находится в равновесии под действием плоской системы сил, то для каждого тела системы можно составить три уравнения равновесия. В итоге получим независимых уравнений ( – число тел в системе). Если число неизвестных сил не превышает , то задача является статически определенной. Вопрос о статически определенных и неопределенных задачах изучается самостоятельно.

И ногда при решении подобных задач целесообразно составить уравнения равновесия для всей нерасчлененной системы тел, считая ее твердым телом, а затем уже для отдельных тел. Но общее число уравнений равновесия будет по-прежнему равна . Рассмотрим пример на применение метода расчленения.

Пример 2. Арка состоит из двух частей (полуарок), соединенных с фундаментом цилиндрическими шарнирами и , а между собой - цилиндрическим шарниром (рис.22). На левую часть действует сила , на правую - сила , при этом . Размеры указаны на рисунке. Весом полуарок можно пренебречь. Определить реакции опор и , а также реакции в шарнире .

Решение. В задаче рассматривается равновесие системы связанных между собой полуарок. Мысленно отбросим внешние опоры и и заменим их действие реакциями. Разложим эти реакции на составляющие (рис.22).

Т ак как полуарки соединены между собой шарнирно, то их взаимные реакции в точке неизвестны ни по модулю, ни по направлению. Составляющие реакции правой полуарки на левую обозначим через , а составляющие реакции левой полуарки на правую- через . Согласно третьему закону Ньютона , (по модулю ). Итак, имеем шесть неизвестных величин: . Для их определения можно составить 6 независимых уравнений равновесия: по три уравнения для каждой полуарки или три уравнения для арки в целом или три для какой-либо одной из полуарок.

Выберем второй вариант решения. Составим три уравнения равновесия для арки в целом:

(а),

(б),

(в).

Силы в эти уравнения не входят, так как для арки в целом являются внутренними силами.

Из уравнений (в) и (б) находим

, .

Рассмотрим равновесие левой полуарки в отдельности (рис. 22а). На нее действуют силы . Составим уравнения равновесия для этих сил:

(г), (д),

(е).

Отсюда, принимая во внимание найденное выше значение , получим

, ,

Из (а) получим

О трицательные значения показывают, что в действительности составляющие имеют направления, противоположные принятым первоначально и изображенным на чертеже. Составляющая также должна быть направлена в противоположную сторону, т.е. вверх.