1.3.3. Определение модулей и направлений главного вектора и главного момента

Выберем оси координат с началом в центре приведения (рис. 19).Проектируя обе части равенства (26) на эти оси, получим

(28)

Проекции главного вектора на координатные оси равны алгебраическим суммам проекций сил системы на эти оси.

Модуль главного вектора равен

(29)

Направление главного вектора определяется направляющими косинусами

. (29а).

Проектируя обе части равенства (27) на координатные оси имеем

. (30).

В соответствии с соотношениями (19) и (20) получим

, (30а)

или

, (30б)

где величины называются главными моментами системы сил относительно координатных осей.

Модуль главного момента равен

. (31).

Направление главного момента определяется направляющими косинусами

. (32)

1.3.4. Уравнения равновесия произвольной системы сил.

Для равновесия произвольной системы сил, приложенной к свободному твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент системы сил относительно произвольного центра были равны нулю.

. (33)

Эти условия являются как достаточными, так и необходимыми. Если они не выполняются, то система сил приводится либо к равнодействующей, либо к паре, либо к динаме и, следовательно, не будет уравновешивающейся.

Из двух векторных уравнений (33) с помощью формул (28) и (30а) получаем следующие уравнения равновесия произвольной системы сил.

. (34)

Из уравнений (34) следует, что для равновесия произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на каждую из трех координатных осей и суммы их моментов относительно этих осей были равны нулю.

Данные условия равновесия распространяются и на несвободное твердое тело, если применить принцип освобождаемости от связей и, наряду с активными силами, рассматривать и реакции связей, приложенные к этому телу.

Вопросы для самопроверки по теме 1.3

1. Докажите, что сила является скользящим вектором.

2. Приведите силу к любой произвольно взятой точке твердого тела.

3. Что называется главным вектором?

4. В каком случае главный вектор является равнодействующей данной произвольной системы сил?

5. Дайте определение главного момента произвольной системы сил относительно центра приведения.

6. Изменится ли главный вектор при переносе центра приведения в другое положение?

7. При каком условии величина главного момента системы не зависит от выбора центра приведения?

8. Сформулируйте условие равновесия произвольной системы сил.

1.4. Плоская система сил

1.4.1. Уравнения равновесия плоской системы сил

П усть все силы, приложенные к твердому телу, лежат в одной плоскости. Этот случай имеет важное практическое значение, так как к нему приводится большое количество технических задач. Возьмем систему координат с началом в произвольной точке плоскости действия сил с осями и , расположенными в этой плоскости и осью перпендикулярной ей (рис. 20).

При этом проекции всех сил на ось равны нулю; равны нулю и их моменты относительно осей и , так как все силы или пересекают эти оси или параллельны одной из них. Следовательно, третье, четвертое и пятое из системы уравнений (34) обратятся в тождества вида . Учитывая, что моменты сил относительно оси равны их моментам относительно точки , поскольку линии действия этих сил лежат в плоскости , перпендикулярной к оси , получим для плоской системы три уравнения равновесия:

. (35)

Для равновесия плоской системы сил, необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и сумма моментов относительно произвольной точки были равны нулю.

Система уравнений (35) называется первой или основной формой уравнений равновесия плоской системы сил. Возможны еще две формы этих уравнений. Они изучаются самостоятельно (см.[1], с. 60…63 или [2], с.61…63).