Оптимізаційні методи та моделі

(Лекції – 24 год., практичні заняття – 24 год.)

Головною метою дисципліни "Оптимізаційні методи та моделі" є оволодіння студентами методами математичного моделювання та розв’язування оптимізаційних економічних та управлінських задач. Студенти опрацьовують методику постановки та формалізації реальної оптимізаційної задачі, отримують вміння та навички з побудови, дослідження та застосування оптимізаційних математичних моделей, оволодівають основними методами оптимізації, проходять практику з використання ПЕОМ і відповідного програмного забезпечення для проведення оптимізаційних розрахунків та аналізу отриманих результатів.

Тематичний план лекційних занять

Лекція 1. Вступ

1.1. Предмет, історія розвитку дисципліни

1.2. Змістовні приклади оптимізаційних задач в економіці та менеджменті (управління запасами, формування виробничої програми, планування перевезень, розподілу робіт між виконавцями)

1.3. Загальна постановка оптимізаційної задачі

1.4. Класифікація оптимізаційних задач (за змістом, за математичною постановкою)

Лекція 2. Математичне моделювання та загальна схема процесу розв’язування оптимізаційної задачі

2.1. Побудова економіко-математичних моделей основних поширених оптимізаційних задач (управління запасами, формування виробничої програми, планування перевезень, розподілу робіт між виконавцями)

2.2. Загальна схема процесу розв’язування оптимізаційної задачі з використанням математичних методів, обчислювальної техніки та відповідних програмних засобів

Лекція 3. Задачі та методи одновимірної оптимізації

3.1. Приклади та загальна постановка одновимірної оптимізаційної задачі, означення її розв’язку (загального та часткового, точного та наближеного), різниця між локальним та глобальним оптимумами

3.2. Прямі методи одновимірної оптимізації (рівномірний пошук, рівномірний випадковий пошук, метод ламаних, пошук на основі золотого перетину), їх порівняльна характеристика

3.3. Непрямі методи одновимірної оптимізації (класична схема, заснована на пошуку стаціонарних точок; метод половинного поділу; метод дотичних; метод січних), їх порівняльна характеристика

3.4. Використання інструментів "Майстер діаграм", "Підбір параметру" та "Пошук рішення" Excel для унаочнення та розв’язування одновимірних оптимізаційних задач

Лекція 4. Графічний метод розв’язування задачі лінійного програмування з двома основними невідомими

4.1. Загальна постановка, приклади та основні етапи графічного розв’язування задачі лінійного програмування з двома основними невідомими

4.2. Графічна ілюстрація основних властивостей задачі лінійного програмування (теореми про існування та місце розташування розв’язку)

4.3. Основна ідея симплекс методу

Лекція 5. Теоретичні основи та алгоритм симплекс методу

5.1. Канонічна задача лінійного програмування, правила переходу від загальної задачі до канонічної

5.2. Дослідження канонічної задачі (поняття опорного плану, теореми про існування опорного плану, про існування оптимального опорного плану, про геометричні властивості опорного та неопорного планів, про розв’язність канонічної задачі)

5.3. Теоретичні основи симплекс-методу (поняття базису, зв’язок між допустимими базисами і опорними планами; ознака оптимальності; ознака необмеженості цільової функції на множині допустимих планів; правило покращення неоптимального базису)

5.4. Алгоритм симплекс-методу і його реалізація за допомогою симплекс-таблиць

5.5. Метод штучного базису, двохетапний та одноетапний варіанти його реалізації

Лекція 6. Інструмент “Пошук рішення” Excel та методика його використання для розв’язування оптимізаційних задач

6.1. Призначення та загальна характеристика інструменту “Пошук рішення”

6.2. Методика розв’язування оптимізаційної задачі з використанням інструменту "Пошук рішення"

Лекція 7. Теорія двоїстості у лінійному програмуванні

7.1. Теорія двоїстості для випадку пари симетричних взаємно двоїстих задач (означення прямої задачі та двоїстої до неї у симетричному випадку; теореми про взаємозв’язок між прямою та двоїстою задачами, про взаємозв’язок між допустимими значеннями цільових функцій прямої та двоїстої задач; перша та друга теореми двоїстості; знаходження розв’язку однієї з пари симетричних взаємно двоїстих задач, коли відомий розв’язок іншої)

7.2. Економічна інтерпретація теорем двоїстості; оптимальні значення двоїстих змінних як оптимальні оцінки ресурсів в задачі оптимального планування виробництва

7.3. Теорія двоїстості для випадків, коли вихідною є загальна задача лінійного програмування або канонічна задача. Поняття про двоїстий симплекс-метод

7.4. Визначення розв’язку двоїстої задачі лінійного програмування за допомогою інструменту "Пошук рішення" Excel

Лекція 8. Післяоптимізаційний аналіз розв’язку задачі лінійного програмування

8.1. Призначення і зміст післяоптимізаційного аналізу

8.2. Методика реалізації окремих блоків післяоптимізаційного аналізу канонічної задачі лінійного програмування (виявлення альтернативних оптимальних планів; визначення границь можливої варіації коефіцієнта цільової функції, коефіцієнта вектору обмежень, коефіцієнта при небазисній змінній в системі основних обмежень; залучення до задачі додаткового обмеження-рівності або обмеження-нерівності)

8.3. Можливості інструменту "Пошук рішення" щодо проведення післяоптимізаційного аналізу розв’язку задачі лінійного програмування

Лекція 9. Транспортна задача та метод потенціалів

9.1. Постановка, математична модель та умова існування розв’язку класичної транспортної задачі

9.2. Відкрита і закрита транспортні задачі, перехід від відкритих задач до закритої. Особливості закритої транспортної задачі у порівнянні з канонічною задачею лінійного програмування

Методи північно-західного кута і мінімальної питомої вартості перевезень для пошуку опорного плану перевезень

Пошук оптимального опорного плану перевезень за методом потенціалів

Лекція 10. Задача про призначення

10.1. Постановка, математична модель та умова існування розв’язку задачі про оптимальний розподіл робіт між виконавцями

10.2. Зв’язок між задачею про призначення та транспортною задачею

10.3. Пошук оптимального опорного плану призначень за методом потенціалів

10.4. Використання інструменту "Пошук рішення" для розв’язування оптимізаційних задач про планування перевезень та призначень

Лекція 11. Теоретико-ігрові методи в економіці та менеджменті

11. 1. Приклади та загальна характеристика задач теорії гри

11.2. Методи розв’язування матричної гри двох гравців з нульовою сумою

Лекція 12. Огляд методів розв’язування задач цілочислового та нелінійного програмування (розгорнутий перелік питань)

12.1. Приклади задач цілочислового та нелінійного програмування в економіці та менеджменті

12.2. Метод відтинань і метод розгалуженого пошуку для розв’язування задач цілочислового лінійного програмування. Напрями розвитку методів цілочислового (дискретного) програмування. Поняття про динамічне програмування

12.3. Постановка та аналіз нелінійної багатовимірної задачі оптимізації без обмежень (достатня умова існування розв’язку; градієнт, гессіан та лінії (поверхні) рівня цільової функції; необхідна умова локального екстремуму першого порядку /теорема Ферма/, необхідна і достатня умови другого порядку; особливості максимізації вгнутої або мінімізації опуклої функції. Класична схема розв’язування нелінійних багатовимірних задач оптимізації без обмежень за теоремою Ферма; обмеженість класичної схеми)

12.4. Поняття про непрямі методи багатовимірної оптимізації без обмежень (градієнтний метод та його різновиди за правилом вибору крокового множника; теореми про збіжність методу найскорішого підйому, окремих інших градієнтних методів; варіанти прискорення збіжності градієнтних методів; метод Ньютона та його модифікації; квазіньютонівські методи) та про прямі методи (на основі скінченно-різницевої апроксимації градієнту та гессіану цільової функції; стохастичного квазіградієнту; покоординатного підйому; конфігурацій; пошуку за деформівним многогранником)

12.5. Постановка та аналіз нелінійної багатовимірної задачі оптимізації з обмеженнями (достатні умови існування розв’язку; необхідна умова локального максимуму в термінах допустимих напрямків і напрямків зростання цільової функції; особливість задачі опуклого програмування; функція Лагранжа та її сідлові точки; двоїстість у нелінійному програмуванні; умови оптимальності, засновані на застосуванні диференціального числення; теорема Куна-Таккера)

12.6. Поняття про методи багатовимірної оптимізації з обмеженнями (проектування; можливих напрямів; методи лінеарізації, штрафних функцій). Напрями розвитку теорії та методів нелінійного програмування. Поняття про методи оптимізації недиференційовних функцій та стохастичне програмування