2. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Изменение кинетической энергии механической системы на некотором ее перемещении равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, приложенных к системе, на том же перемещении:

. (7)

Здесь T₀ и T – кинетическая энергия системы соответственно в начальном и конечном положении, и – суммы работ соответственно всех внешних и внутренних сил, приложенных к системе.

Для механических систем, являющихся твердыми телами, или состоящих из твердых тел, связанных нерастяжимыми нитями или недеформируемыми связями, то есть таких систем, для которых расстояние между двумя любыми ее взаимодействующими точками не изменяется, , и теорема имеет вид:

. (8)

Формулы для вычисляется кинетической энергии следующие.

Для точки:

. (9)

Для тела, совершающего поступательное движение:

, (10)

где V_C – скорость центра масс тела.

Для тела, совершающего вращательное движение вокруг неподвижной оси Oz:

, (11)

где – момент инерции тела относительно оси вращения, –угловая скорость тела.

В общем случае свободного движения твердого тела кинетическая энергия состоит из двух частей – кинетической энергии поступательной части движения вместе с полюсом – центром масс и кинетической энергии вращательной части движения вокруг мгновенной оси:

, (12)

где – момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения, – мгновенная угловая скорость тела.

Формула (12) может быть применена и для случая плоскопараллельного движения. Если движение происходит параллельно плоскости xOy , то

, (13)

где – момент инерции тела относительно оси Cz , проходящей через центр масс.

Работа силы при перемещении точки ее приложения из положения M₀ в положение M вычисляется по формуле

здесь – вектор перемещения точки , dS – элементарный путь точки M , – угол между силой и вектором перемещения.

В случае постоянной силы

(15)

Работа пары сил с моментом М по вращению тела от :

Для постоянного момент а:

. (17)

3. Методы аналитической механики

Одним из основных понятий в аналитической механике является понятие возможного перемещения механической системы.

Возможным перемещением механической системы называется любая совокупность бесконечно малых перемещений ее точек, допускаемая в рассматриваемый момент времени наложенными на систему связями.

Для ν-й точки системы возможное перемещение обозначается как . В отличие от действительного перемещения , происходящего во времени при действии приложенных сил, возможное перемещение это воображаемое перемещение вне времени без нарушения связей. В дальнейшем по умолчанию рассматриваются системы, на которые наложены связи только следующих видов:

1. Идеальные – это связи для которых сумма элементарных работ сил реакций на любом возможном перемещении системы равна нулю. Фактически это связи без трения и деформаций. (В дальнейшем при рассмотрении систем с неидеальными связями будет сделана оговорка).

2. Удерживающие (двухсторонние) – связи, описываемые математически уравнениями.

3. Голономные – это связи, в уравнениях которых не содержаться неинтегрируемым образом дифференциалы или производные координат по времени.