2. Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси по сути является вторым законом динамики для вращательного движения:

, (2)

Здесь J_z – момент инерции тела относительно оси вращения Oz (характеристика инертности тела при вращательном движении); угловое ускорение тела, а – сумма моментов всех внешних сил, приложенных к телу, относительно оси вращения.

3. Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела

Плоскопараллельное движение твердого тела – сложное движение, которое складывается из поступательного движения вместе с полюсом (в качестве полюса выбирается центр масс) и вращательного вокруг оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения. Для описания поступательной части движения – используются дифференциальные уравнения движения центра масс (в плоскости xCy), а для описания вращательной части движения дифференциальное уравнение вращательного движения относительно оси Cz, проходящей через центр масс. Таким образом, имеем:

;

; (3)

,

здесь J_Сz – момент инерции тела относительно оси Oz , а – сумма моментов всех внешних сил, приложенных к телу, относительно оси Cz.

2. Общие теоремы динамики

Для решения задач во многих случаях оказывается более удобным пользоваться так называемыми общими теоремами динамики, являющимися следствиями основного уравнения динамики. Эти теоремы:

1. Устанавливают наглядные зависимости между основными динамическими характеристиками движения материальных тел.

2. Позволяют изучать отдельные стороны явления, а не в целом.

3. Избавляют, в некоторых случаях, от необходимости интегрировать дифференциальные уравнения движения, упрощая процесс решения.

1. Теорема о движении центра масс

Формулировка теоремы:

Центр масс механической системы движется так, как двигалась бы точка с массой, равной массе механической системы, при действии на нее всех внешних сил, приложенных к системе.

Аналитические выражения теоремы – это уравнения (1). При решении задач часто в сочетании с уравнениями (1) используются формулы для нахождения координат центра масс системы по координатам ее точек или центров масс отдельных частей системы:

;

; (4)

,

где m_ν – масса ν-й точки или части механической системы.

Путем дифференцирования по времени уравнений (4) получаются связи между проекциями на координатные оси скорости центра масс системы и одноименными проекциями скоростей точек (или скоростей центров масс отдельных частей) системы:

;

; (5)

.

Если продифференцировать по времени последние уравнения еще раз получаются связи между проекциями на координатные оси ускорения центра масс системы и одноименными проекциями ускорений точек (или ускорений центров масс отдельных частей) системы:

;

; (6)

.