2.3.1 Общее уравнение динамики

Общее уравнение динамики является синтезом двух принципов механики – принципа возможных перемещений и принципа Даламбера.

При движении механической системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех активных сил, приложенных к системе, и добавленных сил инерций на любом возможном перемещении равна нулю:

(18)

Силы инерции находятся следующим образом.

Для точки сила инерции прикладывается противоположно ускорению точки:

. (19)

Для тела, совершающего поступательное движение все силы инерции, приложенные к его точкам, сводятся к главному вектору сил инерции, который прикладывается к центру масс противоположно ускорению:

, (20)

здесь W_C – ускорение центра масс тела.

В случае плоскопараллельного движения если тело имеет плоскость симметрии, параллельную плоскости движения xOy, все силы инерции () сводятся и к главному вектору сил инерции и к главному моменту сил инерций. Главный вектор определяется по формуле (20) и прикладывается к центру масс противоположно ускорению. Главный момент сил инерций

, (21)

знак минус означает, что он направлен противоположно угловому ускорению тела.

Для тела, совершающего вращательное движение вокруг неподвижной оси Oz и имеющее плоскость симметрии, перпендикулярную оси все силы инерции находятся как и в случае плоскопараллельного движения. Если центр масс тела лежит на оси, то главный вектор сил инерции , и все силы инерции приводятся только к главному моменту, определяемому по формуле (21).

Следует отметить, что общее уравнение динамики можно применять и для систем с неидеальными связями, только в этом случае реакции неидеальных связей, таких, например, как сила трения или момент трения качения, необходимо отнести к категории активных сил.

Работа на возможном перемещении как активных, так и сил инерций, ищется также как и элементарная работа на действительном перемещении:

Возможная работа силы:

. (22)

Возможная работа момента (пары сил):

. (23)

2.3.2 Уравнения Лагранжа 2-го рода

Одним из преимуществ аналитической механики является использование обобщенных координат.

Обобщенными координатами механической системы называются независимые между собой параметры q₁, q₂, …, q_S любой размерности, однозначно определяющие положение системы в любой момент времени.

Число обобщенных координат равно S – числу степеней свободы механической системы. Положение каждой ν-й точки системы, то есть ее радиус вектор в общем случае всегда можно выразить в виде функции обобщенных координат:

(24)

Общее уравнение динамики в обобщенных координатах выглядит в виде системы S уравнений следующим образом:

;

;

……..………. ;

(25)

………..……. ;

,

здесь – обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате :

(26)

а – обобщенная сила инерции, соответствующая обобщенной координате :

(27)

Уравнения Лагранжа 2-го рода выводятся из общего уравнения динамики в обобщенных координатах. Число уравнений соответствует числу степеней свободы:

(28)

Для составления уравнения Лагранжа 2-го рода выбираются обобщенные координаты и находятся обобщенные скорости . Находится кинетическая энергия системы, которая является функцией обобщенных скоростей, и, в некоторых случаях, обобщенных координат. Выполняются операции дифференцирования кинетической энергии, предусмотренные левыми частями уравнений Лагранжа. Полученные выражения приравниваются обобщенным силам, для нахождения которых помимо формул (26) часто при решении задач используют следующие:

(29)

В числителе правой части формулы – сумма элементарных работ все активных сил на возможном перемещении системы, соответствующем вариации i-й обобщенной координаты – . При этом возможном перемещении все остальные обобщенные координаты не изменяются. Полученные уравнения являются дифференциальными уравнениями движения механической системы с S степенями свободы.