2.1.8. Неравенство Чебышева

Лемма Чебышева. Если случайная величина Х имеет конечные математическое ожидание МХ и дисперсию DX, то для любого положительного числа  справедливо неравенство Чебышева:

Доказательство этой леммы можно найти во многих учебниках.

Рассмотрим частные случаи:  = 3 = 3 и  = 2 = 2 . Тогда неравенство Чебышева имеет вид:

Это не противоречит, в частности, уже известным равенствам и для нормально распределенной случайной величины.

Однако неравенство Чебышева довольно часто дает слишком грубую, а иногда и не представляющую интереса оценку. Пусть, например,  = .

Тогда

Полученное неравенство тривиально, так как вероятность любого события не может быть отрицательным числом. Тем не менее, неравенством Чебышева пользуются как на практике, так и в научной деятельности, когда надо сделать определённые выводы. С помощью этого неравенства доказываются предельные теоремы теории вероятностей.

2.2. Модифицированные формулы полной вероятности и Байеса

2.2.1. Непрерывная случайная величина при простых гипотезах.

Пусть А₁, А₂,…, А_n – гипотезы, представляющие собой полную группу событий, даны P(A_i) и имеется НСВ Y, которая характеризуется разными условными плотностями распределения при различных гипотезах А_i. Тогда полная плотность распределения и апостериорная вероятность имеют вид:

,

Эти формулы получаются из обычных формул полной вероятности и Байеса, если в них произвести замену: Р(В)≈ f(y)∆y, Р(В/A_i)≈ ∆y, а затем – сократить на ∆y.

Пример. Имеются две партии единиц продукции, в каждой из которых параметр y единицы продукции имеет плотности распределения . Количество единиц продукции во второй партии в 2 раза больше чем в первой.

Тогда плотность распределения для смеси этих двух партий: , а – вероятность того, что наугад взятая из смеси единица продукции со значением параметра y₀ принадлежала первой партии.

2.2.2. События при сложных гипотезах

Пусть вместо вероятностей гипотез А₁, А₂,…, А_n имеется плотность распределения НСВ Х, представляющей собой бесконечное множество гипотез (сложные гипотезы), имеющее мощность континуума. Пусть имеется также условная вероятность события B, являющаяся функцией от x. Тогда полная вероятность и апостериорная плотность распределения имеют вид:

Эти формулы получаются из обычных формул полной вероятности и Байеса, если в них произвести замену: Р(A_i)≈ f₀(х_i)∆х_i, Р(А_k/В)≈ ∆х, в первой формуле знак суммы заменить на знак интеграла, а во второй произвести сокращение на ∆х.

Пример. – доля дефектных изделий в партии продукции, где M – число дефектных изделий в партии, содержащей N изделий; – характеристика СВ Х на совокупности всех партий; B – событие, состоящее в том, что в выборке объема n, взятой из партии изделий достаточно большого объёма N, окажется ровно m дефектных изделий; – биномиальное распределение; – плотность распределения СВ Х на совокупности партий, в выборке (объёма n) из которых имеется m дефектных изделий.