- •Случайные величины
- •Распределения и числовые характеристики одной случайной величины
- •Общие понятия.
- •Распределения дискретной случайной величины (дсв).
- •Распределения непрерывной случайной величины (нсв)
- •Числовые характеристики случайной величины
- •2.1.5. Свойства математического ожидания и дисперсии
- •2.1.6. Нормальное распределение
- •2.1.7. Другие виды распределений
- •2.1.8. Неравенство Чебышева
- •2.2. Модифицированные формулы полной вероятности и Байеса
- •2.2.1. Непрерывная случайная величина при простых гипотезах.
- •2.2.2. События при сложных гипотезах
- •2.2.3. Непрерывная случайная величина при сложных гипотезах
- •2.3. Функция случайной величины и ее характеристики.
- •2.3.1. Функция дискретной случайной величины
- •2.3.2. Функция непрерывной случайной величины
- •2.3.3. Линейная функция
Распределения непрерывной случайной величины (нсв)
Для НСВ функция распределения F(x) – непрерывна. В качестве полной характеристики НСВ применяют либо F(x), либо плотность вероятности f(x) (ее называют также плотностью распределения).
Определение. Плотностью вероятности называется функция f(x), являющаяся производной от функции распределения, т.е. . Она определена на интервале за исключением точек, где не существует.
Если задана f(x) , то .
Свойства f(x): 1. ; 2. ;
3.
если – мало, где х1<х0<х2.
Пример .В качестве распределения времени до отказа ХТ при испытании или эксплуатации радиоаппаратуры (обычно в расчетах изделий на надежность) часто используют экспоненциальное (рис.3, рис.4):
где а параметр tср представляет собой среднее время работы изделия с момента начала испытаний или эксплуатации до его первого отказа.
рис.3 рис.4
Здесь p – вероятность попадания СВ Т в интервал и означает долю ненадежных изделий, если критерий ненадежности: .
Понятие «надежность» можно распространить и на системы управления социально-экономическими процессами. Под отказом системы можно понимать, например, заболевание специалиста.
Понятие плотности вероятности понадобилось ввести для НСВ из-за того, что вероятность P(x)=0 при х (на практике это не так только потому, что измерения всегда округляют). Действительно, если воспользоваться четвертым свойством F(x), обозначив х=х1, х2=х+∆х, то получим:
при ∆х→0.
Числовые характеристики случайной величины
В предыдущем примере среднее время работы изделия до отказа tср является одной из важных числовых характеристик, называемой математическим ожиданием. Математическое ожидание является центром группирования значений xi случайной величины Х. Имеются и другие важные характеристики. Обобщенными числовыми характеристиками случайной величины Х называют:
1) Начальный момент k - го порядка (для ДСВ и НСВ):
,
где ≡ МХ – математическое ожидание СВ Х. В случае бесконечного числа возможных значений xi вместо n здесь и далее надо поставить знак .
2) Центральный момент k - го порядка:
,
где ≡ DХ – дисперсия СВ X. Величина называется средним квадратическим отклонением (СКО). Это – характеристики (показатели) рассеяния (разброса) значений СВ вокруг математического ожидания ≡ МХ.
Примечание. В случае затруднений с вычислением моментов по этим формулам можно применить описанный в учебниках метод производящих (характеристических) функций. Для типовых распределений f(x) нужную информацию можно получить в справочниках или из пакетов компьютерных программ.
Важными числовыми характеристиками являются также:
1) Медиана – μ. Это такое значение случайной величины Х, которое удовлетворяет уравнению: P(X<μ)=0,5. Для дискретных СВ медианы может не быть. Для непрерывных СВ медиана разделяет площадь под кривой f(x) пополам.
2) Мода (наивероятнейшее значение СВ) – m0. Это такое значение, вероятность которого (для ДСВ) или плотность вероятности при котором максимальна. Мода может быть не одна, а может и отсутствовать вовсе.
3) Квантиль – хр. Это такое значение СВ, которое удовлетворяет уравнению: P(X< хр) = p при заданном значении вероятности p. Для дискретных СВ квантиль может отсутствовать. Медиана является частным случаем квантили.
Конкретные числовые (вероятностные) характеристики приведены в табл.2. Здесь указаны также статистические аналоги, которые при увеличении числа испытаний до сходятся по законам больших чисел к вероятностным характеристикам. Например, среднее арифметическое при n стремится к математическому ожиданию МХ. Термин “числовая характеристика” здесь употребляется как синоним термину “параметр”, хотя, строго говоря, числовая характеристика СВ – это не только наименование параметра, но и его значение.
Таблица 2
Наименование числовой характеристики |
Обозначения и формулы: специальные и общие для ДСВ и НСВ |
Статистический аналог (статистическая характеристика) |
1. Математическое ожидание |
|
|
2. Дисперсия |
|
|
3. СКО |
|
|
4. Коэффициент вариации |
|
|
5. Коэффициент асимметрии |
|
|
6. Коэффициент эксцесса |
(EX>0 для более островершинных f(x) по сравнению с нормальной плотностью вероятности) |
|
7. Медиана |
–корень уравнения: F() = 0,5
|
если n=2k–1 если |
8. Мода (наивероятнейшее значение) |
, в т. ч. локальные максимумы |
|
9. Доля приемлемых (неприемлемых) значений СВ |
p=F(b) – F(a), a,b) –интервал приемлемости значений СВ |
Частость , где m – число значений из a,b) |
10. Квантиль (для НСВ)
|
– корень уравнения
(при р=0,25; 0,5; 0,75 – квартили, при р= 0,1; 0,2;...;0,9 – децили) |
если x1 ≤ x2 ≤ …≤ xn, где {np} – округленное значение величины np. |