§ 9.3 Срок займа, когда цена погашения постоянна

В большинстве практических ситуаций размер период. сервиса займа определен. Определение срока займа – одна из первых задач, которые инвестор должен сделать.

Предположим, что R_t = R для любого t. Пусть С = NR и g = D/R. Уравнение (2.3) тогда дает

x_t+1 = (1+g)x_t (1)

Следовательно

x_t = (1+g)^t-1x₁ , t ≥ 1

и если m не превышает срока займа, то

по ставке g (2)

Так как процент, выплачиваемый в первый год DN = gC, то

x₁ = S – gC (3)

Пусть срок займа n лет. Так как займ будет выплачен, когда деньги, используемые для расчетов, суммируются RN = С. Из (3.2) и (3.3) следует

(S - gC) = C по ставке g (4)

Следовательно

S = gC + C/ (5)

=gC + C(1/ - g ) = С/ по ставке g (6)

Либо (5), либо (6) дает размер сервиса. Уравнение (6) может быть переписано как

С = S по ставке g (7)

Альтернативный подход обеспечивается определением z, начальной ставки НАФ, отношением номинальной суммы займа, выплаченного после первого года к общей номинальной сумме займа. Так как капитальная выплата в конце первого года (см. 3.3) – S – gC, из определения следует

z = (8)

S = (g + z)C (9)

Так как x₁ = S – gC = zC (из (9)), x_t = zC(1+g)^t-1 и номинальный размер займа, выплаченного в конце года t

n_t = zN(1+g)^t-1 (10)

и (S-gC) = zC, то уравнение (3.4) может быть переписано в форме

z = 1 по ставке g (11)

Это уравнение определяет начальную ставку НАФ необходимую, чтобы выплатить займ через n лет. Часто сервис определен и требуется найти n. Часто, однако, не существует целого n, удовлетворяющего уравнению (7). Предположим, что n – единственное целое, для которого

S < C ≤ S по ставке g

или

(S - gC) < C ≤ (S - gC) по ставке g (12)

Деньги для погашения в последний год есть

C – (S - gC) по ставке g (13)

и сервис в последний год есть

(1+g)[C – (S - gC) ] по ставке g (14)

Пример9.3.1. Займ номинальной суммы 8 100 000 должен быть выпущен, приносить процент 6% ежегодно. Займ будет выкупаться по цене 120% в течение 15 лет. НАФ оперирует ежегодными расчетами. Ежегодные сервис займа – постоянная сумма такая, что денег достаточно, чтобы (как в примере предыдущего §). Инвестор, платящий налог на доход 30%, желает купить весь займ на дату выпуска по такой цене, чтобы получить ЧЕД 8%. Какую цену он должен заплатить, если процент выплачивается

А) ежегодно

Б) поквартально в конце

Решение. R=1.2, g = 0.06/1.2 = 0.05, C = 100 000*1.2 = 120 000, n = 15. Ежегодный сервис – S. Тогда из (6) S = at 5% = 11 561.07 или $ 11561

А) Величина инвесторского валового receipts есть 11561 at 8%, т.е. $ 898956.

Процент, требуемый в первый год -- $ 6000 такой, что капитальная выплата в конце года -- $ 5561. Из (1) следует, что величина капитальных выплат (под 8%) К = . Величина валовых процентных выплат 98956 – 63883 = 35073. Следовательно, величина займа, чтобы обеспечить ЧЕД 8% есть А = 63883 + (1- 0.3)35073 = 88434

Б) В этом случае капитальные выплаты формируются явно из того ряда как и в А). Величина чистого процента, следовательно, 0.08/0.08⁽⁴⁾ от соответствующей величины в А). Следовательно,

А=63883+(1 - 0.3) 35073 = 89159

Пример9.3.2. Займ номинальной суммы $500000 11% ежегодно, выплачивается раз в полгода. Займ выкупается по цене 110% НАФ, оперирую ежегодными расчетами. Каждый год $65000 имеется в распоряжении, чтобы обслужить займ. Шестые расчеты НАФ только что были сделаны и инвестор, платящий налог на доход по ставке 40% и налог на капитальную прибыль по ставке 25% желает купить весь оставшийся займ по такой цене, чтобы получить чистый ежегодный доход 9%. Какую цену он должен заплатить.

Решение. Мы должны вначале найти срок займа

R = 1.1, g = 0.11/1.1 = 0.1, C = 550000, S = 65000

Получим срок, решая (7)

550000 = 65000

Т.к. 10%, то

< <

Следовательно, срок – 20 лет. Процент, выплачиваемый в 1-й год $55000, так что капитальная выплата в 1-ый год – $10000. Общая сумма денег, используемых в в первых 19-ти расчетах – 10000 = $ 511591. Остающееся долговое обязательство на начало последнего года – $38409, так что сервис для последнего года – это 38409*1.1 = 42250.

Сейчас рассмотрим величину оставшегося займа для инвестора, который делает покупку через 6 лет после даты выпуска. Если процент выплачивался ежегодно, инвестор просто должен купить аннуитет 65000 на 13 лет, следующий за последним платежом 42250. Величина (по ставке 9%) его валового дохода будет

65000 + 42250 = 499292

Заметим, что общая сумма денег, используемых за 1 шесть расчетов – это 10000 = 77156, так что остающееся долговое обязательство непосредственно сразу после 6-го расчета есть 472844. Следовательно, величина оставшихся капитальных выплат – это К, где

499292 = К + (472844 - К) => К = 324812

Замечание:

К можно найти из

К =

Следовательно, величина валовых процентных выплат, если они делались ежегодно, должна быть

499292 – 234812 = 264480

Т.к. фактически процент платится раз в полгода и инвестор платит налоги, цена, которую он должен заплатить

А = 234812 +((1 – 0.4) 264480) – (0.25(472844 - А) )

=> А = 386242

Заметим, что в тоже время покупка оставшейся номинальной суммы займа – это 472844/1.1 =429858. Следовательно, цена в процентах

= 89.85%