1.10. Алгоритм симплекс-таблиц t1(Bk)

Симплекс-таблица T₁(B_k), объединяющая все структуры данных, необходимых для работы алгоритма, имеет вид, показанный на рис.1.19.

Рис.1.19

В результате работы алгоритма формируется последовательность симплекс-таблиц T₁(B_k) k=1,2,…s, начиная с допустимого базиса B₁ до выполнения одного из двух условий:

-либо выполняются условия оптимальности (1.78),

-либо устанавливается, что (1.83).

Начальная симплекс-таблица однозначно формируется по заданному B₁.

Алгоритм

Шаг 1. k=1

Шаг 2. Проверка условия оптимальности базисного решения (см. 1.42):

.

Если оно выполняются, то:

- определяется оптимальное решение (1.84). Номера базисных компонент берутся из множества N(B),_k а их значения из рядом стоящего вектора b(B_k);

(см. 1.51);

- алгоритм завершает свою работу.

Шаг 3. Выбор разрешающего столбца l осуществляется в соответствии с соотношением (1.82), в котором .

Шаг 4. Проверка условия (1.83) осуществляется в результате анализа значений столбца , или (что одно и то же) первых m элементов столбца .

Если условие выполняется, то алгоритм завершает свою работу.

Шаг 5.Определение номера r разрешающей строки с помощью соотношений (1.62)-(1.64). При этом используются стоящие в одинаковых строках элементы столбцов

b(B_k )и при условии [i,l]>0.

Шаг 6. Переход к симплекс-таблице T₁(B_k+1):

6.1) Преобразование базисного множества

Фактически эта операция делается путем замены в базисном множестве N(B_k) элемента, стоящего на r-ом месте, номером разрешающего столбца l. Необходимо отметить, что при переходе от одной итерации к другой значение целевой функции не может уменьшиться, а при будет возрастать.

6.2) Преобразование в соответствии с (1.88) действительной части симплекс-таблицы относительно разрешающего элемента.

Шаг 7. k: = k+1, переход на шаг 2.

1.11. Алгоритм симплекс-таблиц t2(Bk)

Алгоритм основан на итеративном преобразовании расширенной обратной базисной матрицы . Имеет существенные преимущества по вычислительной сложности по сравнению с алгоритмом симплекс-таблиц T₁(B_k) для ЗЛП, у которых за счет экономии вычислений при выполнении преобразований Гаусса-Жордана: размерность преобразуемой матрицы равна , а матрицы - .

Симплекс-таблица T₂(B_k) имеет структуру, показанную на рис.1.20.

Рис. 1.20

В отличие от симплекс-таблицы T₁(B_k) в T₂(B_k) не представлены непосредственно все необходимые для работы алгоритма структуры данных: симплекс-разности, столбцы матрицы . Их в этом алгоритме по необходимости нужно в нужный момент специально рассчитывать. Для расчета симплекс-разностей и разрешающего столбца на основе соотношения (1.42) применяются следующие формулы:

(1.89)

где - последняя, (m+1)-ая строка матрица ;

. (1.90)

Для реализации этих расчетов в ручном счете целесообразно использовать структуру данных, показанную на рис.1.21.

Рис. 1.21

Элементы строки симплекс-разностей получаются путем скалярного умножения вектора на соответствующие столбцы расширенной матрицы условий . Расчет осуществляется путем выбора необходимого из матрицы , записи его справа от T₂(B_k) и умножением слева на матрицу .

В целом же алгоритм симплекс-таблиц T₂(B_k) имеет ту же структуру, что и алгоритм симплекс-таблиц T₁(B_k). Укажем лишь на отличия:

• в п.2 алгоритма перед проверкой оптимальности базисного решения производится расчет ;

• в п.4 алгоритма перед проверкой условия производится расчет ;

• в п.6.2 относительно разрешающего столбца производится пересчет не , а .