- •Диффернцирование функции одной переменной.
- •Правила дифференцирования.
- •2. Производная сложной функции.
- •3. Производная функции, заданной неявно.
- •4. Производная функции, заданной параметрически.
- •5. Производная степенно-показательной функции.
- •6. Производные высших порядков.
- •7. Дифференциал функции.
- •7.1 Вычисление дифференциала.
- •7.2 Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •7.3 Дифференциалы высших порядков.
- •8. Правило Лопиталя – Бернулли.
- •8.2 Раскрытие неопределенности типа .
- •8.3 Раскрытие неопределенности типа .
- •8.4 Раскрытие неопределенностей типа .
- •9. Уравнения касательной и нормали.
- •10. Промежутки монотонности функции. Экстремумы функции.
- •11. Наибольшее и наименьшее значения функции.
- •12. Промежутки выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
- •13. Общая схема исследования функций и построения графиков.
- •13.1 Общая схема исследования и построения графика функции заданной явно.
- •13.2 Общая схема исследования и построения графика функции заданной параметрически.
13. Общая схема исследования функций и построения графиков.
13.1 Общая схема исследования и построения графика функции заданной явно.
Общее исследование функции следует проводить по приведенной ниже схеме:
1.Определить область существования функции, область непрерывности, точки разрыва.
2. Найти асимптоты функции.
3. Выяснить вопрос о периодичности.
4. Выяснить вопрос о четности или нечетности.
В случае, если функция окажется четной или нечетной достаточно исследовать функцию только при положительных значениях аргумента. При построении графика следует учесть, что график четной функции симметричен относительно оси ординат; график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
5.Найти точки пересечения графика функции с осями координат:
с осью абсцисс - точки , где -решение уравнения ;
с осью ординат- точки , где .
6. Найти промежутки монотонности и локальные экстремумы.
7.Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
8. Составить таблицу
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возрастает или убывает, Выпукла или вогнута |
|
Возрастает или убывает, Выпукла или вогнута |
|
Возрастает или убывает, Выпукла или вогнута |
|
Возрастает или убывает, Выпукла или вогнута |
|
знак |
|
знак |
|
знак |
|
знак |
|
знак |
|
знак |
|
знак |
|
знак |
Точки -все найденные в п.6-7 точки, в которых производные обращаются в нуль или не существуют.
9.На основании проведенного исследования построить график заданной функции.
Пример 26
Провести полное исследование и построить график функции .
Решение:
Область определения функции
Точка разрыва функции , функция непрерывна на и .
2. Асимптоты.
Вертикальная асимптота .
Поведение функции в окрестности :
Найдем наклонную асимптоту:
Прямая является наклонной асимптотой заданной кривой.
3. Функция не является периодической.
4. Четность функции
Условие четности или нечетности не выполнено. Заданная функция –функция общего вида.
5. Точки пересечения с осями.
График функции проходит через начало координат.
6. Промежутки монотонности, локальные экстремумы.
Найдем критические точки:
И
знак
Найдем значения функции в критических точках:
7.Промежутки выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Найдем вторую производную.
Точки, в которых равна нулю или несуществует:
Исследуем знак второй производной методом интервалов:
8. Составляем таблицу.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
- |
|
|
|
|
+ |
0 |
+ |
- |
- |
0 |
+ |
|
- |
0 |
+ |
- |
+ |
|
+ |
|
|
перегиб |
|
разрыв |
|
Мин. |
|