Лабораторная работа №16. Использование методов линейного программирования для решения оптимизационных задач

Цель работы:

– определить экстремум целевой функции с использованием симплекс-метода данцига.

1. ОПИСАНИЕ МЕТОДИКИ РАСЧЕТОВ

Линейное программирование представляет собой математический аппарат, разработанный для решения оптимизационных задач с линейным выражением для критерия оптимальности и линейными ограничениями на область изменения переменных.

Математически задача линейного программирования формулируется следующим образам: имеется ряд переменных х₁, х₂, …, х_n. Требуется найти такие неотрицательные значения этих переменных, которые бы удовлетворяли системе линейных уравнений (ограничениям):

а₁₁x₁ + а₁₂x₂ + … + а_1nx_n ≥ b₁

а₂₁x₁ + а₂₂x₂ + … + а_2nx_n ≥ b₂ (16.1)

………………………………

а_m1x₁ + а_m2x₂ + … + а_mnx_n ≥ b_m

и, кроме того, линейная функция достигала экстремума.

R = C₁x₁ + C₂x₂ + … + C_nx_n . (16.2)

В системе (16.1) могут быть как равенства, так и неравенства. Для решения таких задач используется симплекс-метод данцига

Пусть система ограничений (16.1) записана в виде равенств. Полагая, что ранг матрицы коэффициентов меньше числа неизвестных, выразим r неизвестных системы через остальные:

x₁ = + + …+ +

x₂ = + + …+ + (16.3)

……………………………………………

x_r = + + …+ +

Неизвестные x₁, x₂, …x_r называются базисными, остальные переменные – свободные.

Т.к. свободным неизвестным можно придавать любые неотрицательные значения (x_r+1≥0), то свободные члены , ,…, должны быть положительными, поскольку в противном случае (т.е. если <0 при x_r+1=0, x_r+2= 0, … x_n=0) получим x_j <0 (j = 1, 2,…, r).

Положив все свободные неизвестные равными 0 (x_r+1=0, x_r+2=0,…, x_n=0) получим:

x₁= ; x₂= , …, x_r = . (16.4)

При этом вектор ( , ,…, , 0, 0,…, 0) называется базисным вектором.

Полученное решение (16.4) системы (16.1) является допустимым (x₁>0; x₂>0; …x_r>0) и называется базисным (отвечает первому базису).

Подставив в линейную форму критерия оптимальности (16.2) вместо базисных переменных их выражения через свободные переменные, получим

R = + + + …+ . (16.5)

Причем для первого базисного решения (x_r+i=0)

R = (16.6)

Далее переходим к другому базисному решению с таким расчетом, чтобы при этом значение линейной формы R не увеличивалось (в случае поиска минимума). Этот переход осуществляется следующим образом: заменяется одна из базисных переменных другой, которая раньше была небазисной (свободной) и т. д. Этот процесс повторяется до тех пор, пока R не достигнет экстремального значения.

2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Работа выполняется в такой последовательности:

• определяется ранг матрицы коэффициентов;

• отыскивается первое базисное решение;

• анализируется целевая функция и находится второе базисное решение;

• заменяется одна из базисных переменных на небазисную и определяется новый вид целевой функции;

• отыскивается очередное базисное решение и критерий оптимальности и т.д.

3. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Определить оптимальные значения переменных, при которых целевая функция достигает экстремума и соблюдаются следующие ограничения:

Таблица 16.1

№ вар.	Целевая функция	Ограничения
1	R = x4 – x5 Min	x1 =1 – x4 + 2  x5 ; x2 = 2 + 2  x4 – x5 ; x3 = 6 – 3 x4 –x5
2	R = 6 – 2  x4 + 2  x5 Min	2  x2 + 4  x4 + 6  x5 – 12 = 0; 2  x3 – 2  x4 – 6  x5 – 4 = 0; 2  x1 + 2  x4 + 2  x5 – 4 = 0
3	R = x1 – x2 Min	x3 = 2 + x1 – x2 ; x4 = 5 + x1 – 2  x2
4	R = 3  x5 + 2  x4 + 3 Max	x1 =6 – x4 +2  x5; x2 = 4 – 2  x4 – x5; x3 = 8 – x4 + 3  x5
5	R = x5 – x4 + 3 Min	3  x5 + x1 + 2  x2 = 6; x3 – x4 – 3  x5 = 4; x4 + x5 + x1 = 4
6	R = – x5 + x4 Min	3 – 3  x4 – x5 – x3 = 0; 1 – x4 + 2  x5 – x1 = 0; 2 + 2  x4 – x5 – x2 = 0
7	R = x1 +0,5  x2 + x3 Max	2  x1 + x2 + x3 + x4 = 3; 3  x1 – x2 + x3 + x5 =4; 2  x1 – 2  x2 – x3 + x6 = 2

4. ОФОРМЛЕНИЕ ПРОТОКОЛА

В протоколе по лабораторной работе формулируется цель работы, описываются результаты расчетов по определению экстремума целевой функции.

5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Классификация методов решения задач оптимизации.

2. Общая идея методов линейного программирования.

3. Симплекс–метод Данцига, алгоритм расчета.