2. Изучение резонанса токов в цепях переменного тока

Резонанс токов возникает в электрических цепях при параллельном соединении нагрузок R, L и С (рисунок 6). Обычно в катушках индуктивности активное сопротивление намного меньше индуктивного (R_L  L). Поэтому в первом приближении величиной R_L можно пренебречь.

Д ля определения силы тока (она равна сумме токов в отдельных ветвях) построим диаграмму токов (рисунок 7.).

Поскольку в данном случае общим для всех ветвей является общее напряжение u = U₀sint, подведенное к цепи, то за основу при построении векторной диаграммы берется амплитуда напряжения U₀. Амплитудные значения силы токов в ветвях на диаграмме представляются соответствующими векторами:

, и . (13)

Первый из них совпадает с осью напряжения U₀ (горизонтальной осью), а второй и третий повернуты на углы -2 и +2, соответственно (в ветви L сила тока отстает от напряжения на 2, а ветви С опережает на 2).

Из векторной диаграммы найдем амплитуду полного тока I₀ (тока в магистрали) и разность фаз  между силой тока и напряжением:

(14)

где  полная проводимость цепи.

Если частоту  подобрать так (при постоянных величинах L и С), чтобы реактивные проводимости ветвей L и С были одинаковыми:

(14)

то амплитуда силы тока в цепи достигнет минимального значения (рисунок 8)

(15)

а сдвиг фаз станет равным нулю ( = 0).

Участок цепи в этом случае эквивалентен «чисто активному» сопротивлению R. При этом возможно возникновение больших сил токов в ветвях L и C, даже превышающих силу тока в магистрали I₀. Из выражения (14) следует, что при этих условиях колебания тока на катушке индуктивности и конденсаторе имеют одинаковые амплитуды:

. (16)

Если активное сопротивление R  L = 1/C, то I_0L = I_0C  I₀.

В частном случае, когда ветвь R отсутствует (R  ), сила тока в магистрали станет равной нулю (рисунок 8). Силы токов в ветвях L и C равны по величине, но различаются по фазе на . Поэтому ток циркулирует только в контуре LC и отсутствует в магистральной цепи (рисунок 9). Такое явление называется резонансом токов (в ветвях L и С).

Д ля реальных катушек индуктивности их активное сопротивление R_L  0. Его учет несколько изменит величины  и U₀, но суть физического явления останется прежней.

Резонанс токов может быть достигнут не только подбором частоты , но и подбором величин L и C в соответствии с условием (14).

Все соотношения, установленные для амплитудных напряжений и сил токов будут справедливы и для их действующих значений.

Явление резонанса токов используется в фильтрах (поскольку контур для резонансной частоты является бесконечно большим сопротивлением), резонансных усилителях, нагревательных печах и т.д.

Теория метода

Электрический реальный колебательный контур характеризуется своей добротностью Q. Добротность тесно связана с энергетическими характеристиками контура и определяется отношением мощности запасенной в контуре, к энергии за один период колебаний. Значение добротности дает представление о качестве колебательного контура, характеризуя длительность существования колебаний в нем. Если затухание невелико, то добротность определяется формулой

. (17)

Учитывая формулу (11), получим

. (18)

Из формул (17,18) видно, что чем меньше активное сопротивление контура R, тем выше его добротность.

При резонансе напряжений значение амплитуды тока в контуре

, (19)

а амплитуды напряжений на реактивных элементах с учетом формулы (18) будут равны

, (20)

. (21)

Соотношения (20) и (21) показывают, что при резонансе амплитуды напряжения на реактивных элементах в Q раз больше приложенного напряжения U₀.

Добротность определяет вид частотной (резонансной) характеристики контура, которая представляет собой зависимость I₀/I_0P от  или . Разделив выражения (7) на (19) получим

. (22)

В выражении (22) разделим числитель и знаменатель на R, воспользуемся формулой (18):

. (23)

Пользуясь (23), можно построить частотную (резонансную) характеристику контура при различных Q(рисунок 10).

Е сли , то из (23) получаем

. (24)

Обычно, при условии I₀/I_0P = 0.707,  мало отличается от _рез, и тогда можно считать +_рез=2_рез ; _рез=(_рез)². Поэтому, обозначив   _рез =  из (24) получим

. (25)

Из (25) получим

. (26)

Из (26) следует, что добротность контура определяется отношением резонансной частоты к частотной ширине резонансной кривой на уровне 0,707 I_0P.

Определение параметров последовательного контура легко осуществить, зная его частотную характеристику. Для построения частотной характеристики необходимо проводить измерения I₀. Экспериментально значительно проще измерять напряжение на одном из реактивных элементов контура, например на емкости (U_0C). Легко получить, что

, (27)

, (28)

. (29)

Очевидно, что для того, чтобы соотношение (29) было эквивалентно частотной характеристике, необходимо экспериментально полученные отношения умножить на соответствующие значения /_рез:

. (30)

Т аким образом, измеряя зависимость амплитудного напряжения на емкости ,можно получить резонансную характеристику контура, соответствующую теоретическому случаю. Принципиальная схема определения резонансной характеристики приведена на рисунке 11.

Где: Г - генератор напряжений переменной частоты; Ч - частотомер; R₁, R₂ - делитель напряжения; L, C - элементы контура; V - цифровой вольтметр.

В этой схеме напряжение генератора Г подается на последовательный контур LC через резисторный делитель частоты R₁R₂, позволяющий обеспечить постоянство напряжения, приложенного к контуру, независимо от частоты генератора. Обычно, для этого достаточно чтобы R₂ Z_P = R.