Работа № 5 изучение резонанса напряжений и токов

Цель работы: изучить явление резонанса в цепях переменного тока; определить резонансные частоту и параметры цепи.

Принадлежности: генератор звуковой, частотомер, монтажная плата, вольтметр.

Изучение резонанса напряжений в цепях переменного тока

Р езонанс напряжений возникает при определенных условиях в цепи переменного тока с последовательно соединенным активным сопротивлением R, соленоидом индуктивностью L и конденсатором емкостью C (рисунок 1).

Пусть цепь подключена к источнику синусоидального напряжения U, которое изменяется с циклической частотой  = 2 (частота городской электросети  = 50 Гц). Амплитудное значение силы тока в такой цепи можно найти аналитически, решая дифференциальное уравнение (такое решение приведено в работе «Проверка закона Ома для цепи переменного тока»).

Э ту же задачу можно решить методом векторных диаграмм. Этот метод основан на том, что синусоидально изменяющуюся со временем величину (например, a = A₀sin(t + ) графически можно предоставить в виде проекции на вертикальную ось вращающегося вектора, длина которого равна максимальному (амплитудному) значению А₀. Угловая скорость вращения вектора равна циклической частоте , а угол, образованный вектором с горизонтальной осью в начальный момент времени, равен начальной фазе  синусоидальной величины (рисунок 2).

Пользуясь методом векторных диаграмм, можно алгебраическое сложение мгновенных значений синусоидально изменяющихся со временем величин одинаковой частоты заменить геометрическим сложением векторов их представляющих. Тогда длина результирующего вектора даст амплитуду результирующей синусоиды, а угол, образованный им с горизонтальной осью  ее начальную фазу.

Построим векторную диаграмму напряжений нашей цепи. Для этого заметим, что если источник в цепи создает синусоидальное напряжение u, изменяющееся с частотой , то ток в цепи будет также синусоидальным с той же частотой. Поскольку ток в последовательной цепи на всех участках одинаков, то удобнее принять начальную фазу тока равной нулю, а напряжения на участках цепи рассчитать при этом условии:

, (1)

где I₀ - амплитуда тока. Тогда мгновенное значение напряжения на активном сопротивлении

, (2)

т.е. совпадает по фазе с силой тока, где U_0R = RI₀  амплитуда напряжения на активном сопротивлении R.

Мгновенное значение напряжения на индуктивности

, (3)

т.е. опережает по фазе силу тока на /2, где U_0L = I₀L  амплитуда напряжения на катушке индуктивности L.

Мгновенное значение напряжения на емкости

, (4)

т.е. отстает по фазе от силы тока на /2, где U_0С = I₀/C  амплитуда напряжения на емкости С.

П ри построении векторной диаграммы вектор тока откладывается горизонтально, поскольку он одинаков во всех последовательно соединенных элементах цепи R, L и C. Вектора, соответствующие напряжениям, представляются с учетом соответствующего сдвига фаз относительно тока (рисунок 3):

и . (5)

Первый из них совпадает c направлением вектора, соответствующего току, а второй и третий повернуты на углы +2 и 2, относительно тока. При сложении этих векторов получается результирующий вектор, длина которого дает амплитуду приложенного напряжения U₀, а угол   разность фаз напряжения и тока:

. (6)

Отсюда получим выражение для силы тока

. (7)

Это выражение представляет собой закон Ома для данной цепи, поскольку связывает амплитудные значения тока и напряжения постоянным коэффициентом Z (при постоянных R,L,C и ).

Величина  полное сопротивление (импеданс) цепи. X_L=L - называется индуктивным сопротивлением, X_C=1/C - называется емкостным сопротивлением, а X=L1/C  реактивным сопротивлением этой цепи.

Сдвиг фаз между током и напряжением также определяется из векторной диаграммы:

. (8)

Анализ выражений (7) и (8) показывает, что частоту  (при постоянных значениях L и C) можно подобрать так, чтобы индуктивное и емкостное сопротивления были одинаковыми:

. (9)

При этом реактивное сопротивление X цепи обращается в нуль, полное сопротивление Z минимально и равно только активному сопротивлению (Z = R), сила тока и напряжение совпадают по фазе ( = 0), амплитуда силы тока I₀ достигает максимальной величины:

. (10)

При этих условиях амплитудные значения напряжений на емкости и индуктивности противоположны по фазе и равны по величине :

.

и, поэтому это явление называется резонансом напряжений (на индуктивности и емкости), а частота _рез, при которой достигается резонанс,  резонансной частотой. Она находится из соотношения(9):

. (11)

Период колебаний тока и напряжений при резонансе .

Поскольку напряжения на индуктивности и емкости совершают колебания в противоположных фазах, то суммарное напряжение на участке индуктивностьемкость равно нулю, хотя напряжения на индуктивности и емкости по отдельности могут быть весьма значительными и даже большими, чем напряжение на концах всей цепи.

Действительно, если L = 1/C  R, то, как следует из выражения (11), U_0L = U_0C  U₀, что может быть опасным для цепи.

Условие резонанса может быть достигнуто разными способами:

1) подбором частоты  при постоянных значениях L и C;

2) подбором индуктивности L при постоянных значениях  и C;

3) подбором емкости C при постоянных значениях  и L.

З ависимость амплитуды силы тока I₀ от частоты  графически изображена на рисунке 4. Представленные кривые называются резонансными. Чем меньше активное сопротивление R, тем круче и острее кривая (острый резонанс), и чем больше R, тем кривая более пологая (тупой резонанс).

Зависимость сдвига фаз  от частоты  графически изображена на рисунке 5, где приведены две кривые для разных значений активного сопротивления R. При частотах   _рез сдвиг фаз   0, т.е. в цепи преобладает емкостное сопротивление. При   _рез сдвиг фаз   0, и в цепи преобладает индуктивное сопротивление. При резонансе ( = _рез) величина  = 0.

Все рассмотренные соотношения справедливы и для действующих значений I и U, так как последние отличаются от амплитудных только постоянным множителем. Например, для гармонически изменяющихся величин I = I₀ / и U = U₀ / .