- •1. Общие правила комбинаторики.
- •2. Выборки без повторений (размещения, перестановки и сочетания)
- •3. Случайные события и действия над ними.
- •4. Вероятность события. Статистическое определение вероятности.
- •5. Классическое определение вероятности.
- •6. Свойства вероятностей.
- •7. Теорема сложения вероятностей (для совместимых и несовместимых событий) и следствия из нее.
- •8. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
- •9. Независимые события. Теорема умножения вероятностей независимых событий.
- •10. Формула полной вероятности.
- •11.Формула Байеса.
- •12. Независимые повторные испытания, формула Бернулли.
- •13. Локальная теорема Лапласа.
- •14.Теорема Пуассона.
- •15. Интегральная теорема Лапласа.
- •16. Функция Лапласа, ее свойства и график.
- •17. Применение интегральной теоремы Лапласа и функции Лапласа к вычислению вероятностей
- •18. Геометрическое определение вероятности. (без рисунка).
- •19. Случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины.
- •20. Биноминальное распределен.
- •21. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства.
- •22. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства.
- •23. Среднее квадратическое отклонение (ско) и его свойства.
- •24. Математическое ожидание и дисперсия биноминального рас.
- •26. Плотность вер-ти и ее свойства. Связь с ф-ией распределения.
- •27. Нормальное распределение. Нормальная кривая. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервалы и . Правило трех сигм.
- •28. Числовые хар-ки непрерывной случайной величины.
- •29. Математическое ожидание и дисперсия нормального распределения.
- •30. Неравенство Чебышева.
- •31. Теорема Чебышева и ее практическое применение.
- •32. Теорема Бернулли. Сходимость по вероятности.
- •33. Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма.
- •34. Статистические оценки параметров распределения.
- •35. Выборочное среднее.
- •36. Выборочная дисперсия как оценка теоретической дисперсии, ско, «направленное» ско.
- •37. Доверительная вероятность и доверительный интервал.
- •38. Доверительный интервал для мо нормального распределения при известном и неизвестном .
- •39. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения.
- •40. Статистическая проверка статистических гипотез. Эмпирические и теоретические частоты. Критерий согласия Пирсона.
- •41. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости.
- •42. Линейная корреляция. Уравнение прямой регрессии.
- •43. Выборочный коэффициент корреляции и его свойства.
27. Нормальное распределение. Нормальная кривая. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервалы и . Правило трех сигм.
Непрер-я случ. вел-на подчин-ся норм-у з-ну распр-я, если ее плотность вер-ти им. вид:
,
>0 и a- пар-ры норм распред. График f(x) наз. нормальной кривой или кривой Гаусса. Для построения графика функции исследуем f(x). (6 пунктов самостоятельно).
Найдем вероятность попадания нормально расп. сл. вел. в (,).
Частный случай: =3
P(|X-a|<3)=2Ф(3)=0.99 Т.к. вероятность близка к 1, то можно считать практически достоверным, что нормально распределенная случ. величина не выходит за пределы интервала (a-3,a+3). Это “правило трех сигм”.
28. Числовые хар-ки непрерывной случайной величины.
1. МО. Пусть случ велич-на имеет возможные значен-я X: x1,…,xn с соответствующими вер-ми p1,…,pn. О: МО случ. вел. – это сумма произведен. всех ее возм. знач-й на их вероятность. Если конечное число значений, то М(Х)=х1*р1+…+ хn*рn. Если мн-во знач-й счетно, то М(Х)=xipi, причем этот рад сход-ся абсолютно, чтобы его сумма не зависела от порядка расположения членов. Пусть непрерывная случайная величина задана плотностью вероятности f(x). О: МО непрер. случ. велич. – интеграл.
.
Несобственный интеграл должен сход. абсолютно. Вероятностный смысл: МО прибл. равно среднему арифмет. наблюдаемых знач-й. случ. велич.(тем точнее, чем больше число испытаний).
2. Дисперсия сл. величины – это МО квадрата отклонения случайной величины от ее МО.
D(Х)=М[X-M(X)]2
На практике пользуются другой формулой: D(X)=M[x2-2X*M(X)+(M(X))2] = M(X2)-M(2X*M(X))+M[(M(X))2] = M(X2)-2M(X)*M(X)+(M(X))2 = M(X2)-[M(X)]2.
Свойства:
10 D(с)=0. с- const; док-тво: D(с)=М(с2)-М2(с)=с2-с2=0
20 D(сХ)=с2D(Х)
30 D(Х+Y)=Д(X+Y), если x,y - независимы.
Следствие: D(Х-Y)=D(X+Y)
3. СКО
Дисперсия имеет недостаток, она имеет размерность квадрата случ. величины. Поэтому с учетом того, что D(x)0, вводят другую характеристику: СКО. О: СКО – это квадратный корень из её дисперсии.
D(Х)=M(X2)-M2(X).
Свойство СКО.
10 (с)=0, с - const;
20 (сX)=|c|(X).
29. Математическое ожидание и дисперсия нормального распределения.
Плотность нормального распределения
.
Можно доказать, что М(Х)=а, а Д(Х)=2 и (Х)= . Итак, параметры а и нормального распределения равны соответственно МО и СКО. Пример: случ. величина Х распределена по нормальному закону. МО и СКО этой вел = 30, 10. Найти: вероятность того, что 1) Х прин (10,50) 2) отклонение по абс. величине будет меньше 3.
a=30-, =10-; P(<X<)=Ф(-a/)- Ф(-a/);
P(10<X<50)=Ф(2)-Ф(-2)=2Ф(2)=0.95.
P(|x-a|<)=2Ф(/), P(|X-30|<3)=2Ф(0.3)=0.2358.
30. Неравенство Чебышева.
Если испыт. много, то результат не зависит от случая, что позволяет предугадывать ход событий. Дан факт явл содерж з-на больших чисел, кот сост из ряда теорем, уст факт сущ-я сред хар-к больш числа величин некот конст-м.
Лемма:(Нер Чебышева).
Пусть случайная величина Х имеет конечное МО и конечную дисперсию, т.е M(Х) D(Х), тогда для любых >0 справедливо
Д-во: в неравенстве Чебышева речь идет о попадании случайной величины в окрестность ее математического ожидания. Найдем вероятность противоположного события, т.е. P(|X-M(X)|) для дискретной случайной величины Х (для непрерывной величины д-во аналогично), только суммы заменяются соответствующими интегралами. Пусть возможное значение xi величины X имеет вероятность pi (i=1…n), обозначим xk1,xk2,…,xkm. Те значения величины Х для которых справедливо (|Xki-M(X)), i=1…n.
Тогда Pk1+Pk2+…+Pkm=P(|X-M(X)|) по определению дисперсии имеем
D(X)=(X1-M(X))2p1+(X2-M(X))2p2+…+(Xn-M(X))2pn (Xk1-M(X))2pk1+(Xk2-M(X))2pk2+…+(Xkm-M(X))2pkm 2(pk1+pk2+…+pkm)=2P(|X-M(X)|).
P(|X-M(X)|)D(X)/2,
тогда -p(|X-M(X)|)- D(X)/2,
1-P(|X-M(X)|)1-D(X)/2,
т.е. p(|X-M(X)|<)1-D(X)/2