- •1. Общие правила комбинаторики.
- •2. Выборки без повторений (размещения, перестановки и сочетания)
- •3. Случайные события и действия над ними.
- •4. Вероятность события. Статистическое определение вероятности.
- •5. Классическое определение вероятности.
- •6. Свойства вероятностей.
- •7. Теорема сложения вероятностей (для совместимых и несовместимых событий) и следствия из нее.
- •8. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
- •9. Независимые события. Теорема умножения вероятностей независимых событий.
- •10. Формула полной вероятности.
- •11.Формула Байеса.
- •12. Независимые повторные испытания, формула Бернулли.
- •13. Локальная теорема Лапласа.
- •14.Теорема Пуассона.
- •15. Интегральная теорема Лапласа.
- •16. Функция Лапласа, ее свойства и график.
- •17. Применение интегральной теоремы Лапласа и функции Лапласа к вычислению вероятностей
- •18. Геометрическое определение вероятности. (без рисунка).
- •19. Случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины.
- •20. Биноминальное распределен.
- •21. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства.
- •22. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства.
- •23. Среднее квадратическое отклонение (ско) и его свойства.
- •24. Математическое ожидание и дисперсия биноминального рас.
- •26. Плотность вер-ти и ее свойства. Связь с ф-ией распределения.
- •27. Нормальное распределение. Нормальная кривая. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервалы и . Правило трех сигм.
- •28. Числовые хар-ки непрерывной случайной величины.
- •29. Математическое ожидание и дисперсия нормального распределения.
- •30. Неравенство Чебышева.
- •31. Теорема Чебышева и ее практическое применение.
- •32. Теорема Бернулли. Сходимость по вероятности.
- •33. Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма.
- •34. Статистические оценки параметров распределения.
- •35. Выборочное среднее.
- •36. Выборочная дисперсия как оценка теоретической дисперсии, ско, «направленное» ско.
- •37. Доверительная вероятность и доверительный интервал.
- •38. Доверительный интервал для мо нормального распределения при известном и неизвестном .
- •39. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения.
- •40. Статистическая проверка статистических гипотез. Эмпирические и теоретические частоты. Критерий согласия Пирсона.
- •41. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости.
- •42. Линейная корреляция. Уравнение прямой регрессии.
- •43. Выборочный коэффициент корреляции и его свойства.
1. Общие правила комбинаторики.
Правило суммы: если объект х может быть выбран n1 способами, а а у n2 способами, то объект “либо х либо у”, может быть выбран n1+ n2 способами. Правило произведения: если объект х может быть выбран n1 способами и каждый раз после этого объект у может быть выбран n2 способами, то объект “х и у”, (упорядоченная пара) может быть выбран n1 n2
2. Выборки без повторений (размещения, перестановки и сочетания)
Размещениями (без повторений) из n элементов r называют упорядоченные выборки, имеющие r различных элементов выбранные из данных r элементов. Число всевозможных размещений обозначается:
Перестановками называют выборки, сост. из всех n разл. эл-тов множества, отличающиеся друг от друга только порядком расположения. Обозначается: Pn=n! Перестановки - частный случай размещения, n=r.
Сочетаниями (без повт.) из n по r называют выборки, имеющие r различных элементов, выбранные из данных n элементов. ; ;
3. Случайные события и действия над ними.
Событие, которое в результате опыта может произойти или не произойти называют случайным. Обозначают A, B, C, D… Выделяют 2 частных события: событие, которое в результате опыта обязательно наступит наз-ют достоверным. Событие, которое в результате опыта заведомо не произойдет наз-ют невозможным. Произведением А*В событий А и В наз-ют события, состоящие в появлении обоих событий. Суммой А+В наз-ют события, состоящие в появлении хотя бы одного из этих событий.
Н-р: При бросании игральных костей А - выпадение четного числа очков, В - выпадение числа очков делящихся на три, то А*В=6, А+В=2,3,4,6. Событие - наз-ют противоположным событию А, если оно состоит в не появления события А и А+ - достоверно. Для наглядности события изображают фигурами на плоскости, рассматривая событие как попадание случайно брошенной точки в соответствующую фигуру. Тогда событие А+В - это попадание в объединение фигур. А*В - это попадание в пересечение фигур. - попадание в дополнение.
4. Вероятность события. Статистическое определение вероятности.
Мы часто сравниваем события, говоря что одно из них более вероятно, чем другое. В связи с этим, чтобы придать данному сравнению точный кон. смысл, требуется с каждым событием связать некоторое число, кот. выражало бы степень возможности события, т.е. было бы тем больше, чем более возможное событие. Это число мы назовем вероятностью. Вероятностью события наз-ся кол-ная мера степени объективной возможности данного события. Пусть произведено n испытаний, в результате которых событие А появилось m раз. Относительной частотой (частностью) события А наз-ся отношение числа m появления события к общему числу n всех испытаний Статистич. определение: при большом числе испытаний относительная частота большинства событий изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянного числа р. Это число р и называют вероятностью события А. Н-р: При бросании монеты частота выпадения герба колеблется около Ѕ. Вероятность показывает как часто в среднем появляется событие А. Н-р: р=2/7 говорит о том, что при большом числе испытаний событие появляется в среднем в 2 случаях из 7.
5. Классическое определение вероятности.
Событие А и В называют несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании. A*B=V. Событие А1 ,А2 , …, Аn образуют полную группу, если в результате испытания обязательно произойдет хотя бы одно из них, т.е. А1+А2+…+Аn = достоверно. События наз-ют равновозможными, если нет ни каких объективных причин, для того, чтобы одно из них появилось чаще, чем другое. Пусть события А1 ,А2 , …, Аn образуют полную группу равновозможных попарно несовместных событий. Такие события наз-ют элементарными исходами. Прим: кубик, А1-четное число, А2 - нечетное. Предпочтительнее в качестве элементарных исходов выбирать такие, чтобы любое событие, связанное с данным опытом распадалось на них, т.е. было представимо в виде суммы некоторых из них. Т.е. элементарные исходы при которых появлялось событие А, т.е. которые в сумме составят А наз-ют благоприятствующими событию А. Вероятностью события А наз-ют отношение числа m исходов благоприятствующих событию А к общему числу n всех элементарных исходов. Р(А) = m/n.