39. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения.

Пусть известно, что случайная величина Х распределена нормально и известено «исправленное» СКО s, являющегося оценкой неизвестного СКО . Произведено n независ. испытаний в результате которых найдено выборочное среднее , оно является оценкой математического ожидания. Найти доверительный интервал покрывающий  с надежностью . (рисунок).

Рассмотрим вспомогательную величину  (хи).

.

Плотность распределения этой величины известна, обозначается f()=R(,n). Данное распределение зависит от n и не зависит от неизвестных параметров. Найдем доверительный интервал из условия

,

,

,

,

.

Рассмотрим 2 случая:

1)

(1)

из этого равенства можно найти q. Созданы спец. таблицы, в которых по данным n и  находят q

,

тогда доверительный интервал

.

2)

т.к. >0, то из (1) следует

производя аналогичные преобразования получим, что  можно найти с помощью несобственного интервала. На практике q находят из той же таблицы. Доверительный интервал:

(0;S(1+q)).

40. Статистическая проверка статистических гипотез. Эмпирические и теоретические частоты. Критерий согласия Пирсона.

Часто необходимо знать закон распределения случайной величины. Тогда по результатам выборки выдвигают гипотезу H₀, сост. в том, что случ. величина подчинена некоторому опред. закону распределения, например, нормальному. Выдвинутая гипотеза м.б. верна, а м.б. и неверна, возникает задача проверки гипотезы, которую наз. статистической гипотезой. Проверку проводят по рез-там выборки, в рез-те ее либо принимают, либо отвергают. Возможны 2 ошиб. 1) ошиб. 1 рода–б. отвергнута правильная гипот. Вер-ть этой ошибки наз. уровнем значимости обозн. . Обычно =0,01; 0,05. 2) ошиб. 2 рода – будет принята неверн. гипот. Вер-ть этой ошибки–.

Пусть в рез-те испытаний случ. вел. Х попала n1 раз в первый промежуток [x₁;x₂), n2 раза – в [x₂;x₃) и т.д. n_k раз в [x_k;x_k+1) Т.к. частоты ni получены в рез-те испытания, то их наз . эмпирическими. Проверка гипотезы в виде распределения случ. велич. основ. на сравнен. эмпирич. частот n_i c теор. частотами n_i. О: Теор. частотой наз. то число раз, которое случ. величина должна была попасть в соот. промежуток, если она действит. распределена по предлагаемому закону. Если предполагаемое распределение – нормальное, то для нах. теор частот исп. формулы:

тогда

Для вычисления вероятности используют формулу: .

Т.к. плотность вероятности нормального распределения имеет вид:

обозначим

;

,j=1,k. Т. к.

,

,

Критерий согласия.

Пусть по экспериментальным данным выдвинута гипотеза о том, что случайная величина распределена нормально, для ее проверки служит случайная величина Х² (хи квадрат) или критерий Пирсона: (1)

,

где ni- выборочные частоты, полученные в результате эксперимента, ni штрих - теоретические частоты, вычисленные в предположении, что случайная величина распределена нормально. Чем < х² тем < различаются друг от друга n_i и n_i штрих.

Известно распределение величины х². Х² критическое находят по таблицам по двум величинам:  - это достаточно малая вероятность, называемая уровнем значимости, k=n-3 - число степеней свободы (n - число разрядов после группировки, если n_i<5 то разряды объединяют в один). Х²_{наблюдаемое}<=Х²_{критического} - гипотезу принимают, Х²_{наблюдаемое}>Х²_{критического} - гипотезу отвергают.Возможны ошибки(2)-ош 1 рода, ее вер-ь=, (1)- набл данные соглас-ся с теор предполож о норм распр Замеч: число набл д б велико,