22. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства.

МО не хар-ет. полностью случ. величину. Появл. необходимость в харр-ке случ. величины, опис. степень разброса возможных значений вокруг МО. О: дисперсией случ. величины наз. МО квадрата отклонения случ. велич. от ее МО D(Х)=М[X-M(X)]². Для дискретной случ. вел.:

.

На практике исп. ф-лу: D(Х)=M(X²)-M²(X).

Свойства:

1⁰ D(с)=0. с- const; док-тво: D(с)=М(с²)-М²(с)=с²-с²=0

2⁰ D(сХ)=с²D(Х)

3⁰ D(Х+Y)=Д(X+Y), если x,y - независимы.

Следствие: D(Х-Y)=D(X+Y)

23. Среднее квадратическое отклонение (ско) и его свойства.

Дисперсия имеет недостаток, она имеет размерность квадрата случ. величины. Поэтому с учетом того, что D(x)0, вводят другую характеристику: СКО. О: СКО – это квадратный корень из её дисперсии.

D(Х)=M(X²)-M²(X).

Свойство СКО.

1⁰ (с)=0, с - const;

2⁰ (сX)=|c|(X).

24. Математическое ожидание и дисперсия биноминального рас.

Пусть производится n испытаний, вер. появления события А в каждом испытании = p. Рассмотрим случ. величину Х – число появлений события А в этих испытаниях.

1. Рассмотрим сначала случ. величину Х_i (i=1,n) – число появлений события А в этом i-м испытании. Возможные значения: 0 (А не появилось), q=1-p; 1 (А появилось) p - вероятность;

M(Xi)=0*q+1*p=p; M(X²i)=0²q+1²p=p; D(Xi)=M(X²i)-M²(Xi)=p-p²=p(1-p)=pq;

2. Очевидно, что число появлений события А во всех испытаниях равно сумме чисел появления события А в каждом отдельном испытании, т.е. X=X1+X2+...+Xn; а, т.к. испытания независимы, то M(X)=M(X1)+M(X2)+...+M(Xn); но все слагаемые = р, поэтому M(X)=np;

D(X)=D(X1)+D(X2)+...; D(X)=npq;

25. Ф-ия распредел-я случ. вел. и ее св-ва. Непр. случайная величина.

Задание закона распределения сл. вел. перечислением ее возм. значений исп. только для дискр. сл. вел. Такое задание невозможно для непр. сл. вел., т.к. множество ее значений не счетно. О: функцией распределения случ. величины наз. функция, ставящая в соответствие каждому значению х вероятность того, что случ. вел. Х примет значение, меньшее х. , геометрически – попадание Х левее х на прямой. Ф-я распределения дискретной случ. вел. есть ступенчатая линия с точками разрыва в точках возможных значений.

Опр: Непрерывной случ. вел. наз. случ. величина, чья ф-я непрерывна.

С-ва: 1⁰ 0F(x)1; 2⁰ F(x) – неубывающая ф-я, т.е. если x₁<x₂, F(x₁)F(x₂). Доказат-во: P(X< x₁)+P(x₁<=X< x₂)=P(X< x₂)

(1)

Сл.1: Вероятность того, что случайная величина попадет в промежуток [,) выражается: P(X<)=F()-F().

Сл.2: Вер. того, что непрерывная случ. вел. примет одно определенное значение равна нолю, т.е. P(X=x₀)=0. Доказат-во: из (1): P(x0X<x0+x)=F(x0+x)-F(x0). Устремим x к нолю.

P(X=x0)=lim _x0F(x0)=0 (т.к. ф-я непрерывна, ее предел=0).

Сл.3: Для непрерывной случ. вел. справедливы равенства:

P(X<)=P(<X<)=P(<X)=P(X). Доказат: P(X<)= P(<X<)+P(X=)= P(<X<), т.к. =0.

3⁰ Если все возможные значения сл. вел. принадл. интервалу [a,b), то а) F(x)=0 при xa. б) F(x)=1 при xb. Доказательство из геометрич. смысла: (нарисуй прямую и две точки) F(x1)=P(X<x1)=0, F(x2)=P(X<x2)=1. Сл: ,(в пределе невозм. событие); , (в пределе достоверное событие).

26. Плотность вер-ти и ее свойства. Связь с ф-ией распределения.

Пусть дана непрерывная случ. величина Х, ф-я расп. к-рой F(x) имеет непр. производную. Опр: плотностью вероятности непрерывной случ. величины Х наз. производная ее функции распределения, т.е. f(x)=F^/(x). Т: Вероятность того, что непр. случ. вел. примет значение, принадл. (,) определяется рав-вом:

Д-во:

. График плотности вер-ти наз. кривой распределения. Вер. попадания сл. вел. в интервал (,)=площ. фигуры, ограниченной кривой распределения, осью Ох и прямыми х=, х=. Плотность вер-ти показ-ет как часто случ вел-на попадает в окр-ть точки при повтор-и опыта.

Сл:

Д-во:

Св-ва: 1) f(x)0 т.к. f(x) – производная неотрицательная, т.к. F(x) – неубывающая ф-ия.

2)

Доказательство:

геометрически это значит, что площадь всей фигуры, закл. м/у кривой распред-я и осью Ох=1