Исследование входных характеристик и трансформирующих свойств цепей с распределенными параметрами

1. Цель работы

Изучить входные характеристики и трансформирующие свойства цепей с распределенными параметрами, или длинных линий (ДЛ).

2. Теоретические положения

Входное сопротивление цепи с распределенными параметрами в некотором сечении линии можно рассчитать, поделив комплексное действующие значение напряжения на комплексное действующее значение тока в данном сечении. В общем случае для линии без потерь [1-2]:

,

где ℓ/λ – отношение длины линии к длине электромагнитной волны.

В режиме холостого хода (I₂=0) Z_вх имеет чисто мнимый характер:

.

Напомним, что для линии без потерь Z_вх= – величина вещественная.

Если Z_вх.х = jX чисто реактивное, то это означает, что в длинной линии без потерь мощность падающей волны нигде не расходуется и полностью возвращается к генератору в виде мощности отраженной волны, т.е. длинная линия обменивается реактивной мощностью с источником энергии.

Если ℓ/λ – целое число, то Z_вх может быть равно нулю или ±∞. В этих случаях в длинной линии наблюдаются резонансы токов и напряжений, через каждые π/4.

Условия резонанса токов ℓ/λ=(1/4)(2к+1), к=0,1,2,3,…∞.

Условия резонанса напряжений ℓ/λ=к/2, к=1,2,3,…∞.

Зависимость X_вх.хх от длины линии показана на рис.2.1. Как видно из рисунка, входное сопротивление ДЛ длиной менее четверти длины волны имеет емкостной характер, а длиной от /4 до /2 – индуктивный характер и т.д. Свойства разомкнутого отрезка линии длиной /4 и /2 подобны свойствам последовательного и параллельного контуров.

Примечание: Разомкнутая линия с сосредоточенными параметрами в режиме х.х. может рассматриваться как совокупность двух обкладок конденсатора, обладающего емкостью С_л=С₀·ℓ.

В режиме короткого замыкания входное сопротивление линии имеет также чисто реактивный характер, причем знак Z_вх.к также меняется через четверть длины волны, так как “tg”– тригонометрическая, нечетная функция.

Z_вх.к = .

Зависимость входного реактивного сопротивленияX_вх.к. короткозамкнутой ДЛ без потерь в функции координаты представлена на рис.2.2. Следует обратить внимание на то, что короткозамкнутая линия без потерь при y = π/4 имеет бесконечно большое входное сопротивление. Если в линии имеются потери, то входное сопротивление не бесконечно, но достаточно велико.

В ДЛ без потерь, нагруженной на несогласованную нагрузку (Z_н=R₂≠ρ) входное сопротивление находят, как:

Рис. 2.1

если R₂> ρ, то:

(2.1)

где (2.2)

Из выражений (2.1) и (2.2) следует, что входное сопротивление в любом сечении длинной линии имеет комплексный характер, за исключением тех сечений, где sin(2βℓ)=0. Называя эти сечения резонансными можем найти y_рез=n·λ/ℓ, где n=0,1,2,… .

Рис. 2.2

Следовательно, резонансные сечения повторяются через λ/4 считая от конца ДЛ. В этих сечениях Z_вх имеет активный характер.

При 0<y<λ/4, Z_вх=R-jX; y_рез=λ/4, Z_вх= ρ /R₂.

При λ/4<y<λ/2, Z_вх=R+jX; y_рез=λ/2, Z_вх=R₂.

Рассматривая аналогично режим при R₂<ρ, можно найти y_рез=n·λ/4, откуда:

при n=0, y_рез=0, Z_вх=R₂;

при 0<y<λ/4 “X” имеет индуктивный характер; y_рез=λ/4, Z_вх= ρ²/R₂;

при λ/4 <y<λ/2 “X” имеет емкостной характер; y_рез=λ/2, Z_вх=R₂.

Следовательно, отрезок линии длиной λ/4 замкнутый на (R₂<ρ) является трансформатором сопротивления, повышающим “R₁” до величины ρ²/R₂>R₂.

Для получения наперед заданного сопротивления R₁>R₂ можно применить четвертьволновой трансформатор с волновым сопротивлением .

При замыкании линии на элемент с чисто реактивным сопротивлением входное сопротивление будет зависеть от характера реактивного сопротивления:

- если длинная линия замкнута на емкость

Z_вх=jρ·ctg[β(ℓ+ℓ`)], где ℓ`= < λ/4;

- если длинная линия замкнута на индуктивность

Z_вх=jρ·tg[β(ℓ+ℓ`)], где ℓ`= < λ/4.

В линии без потерь, нагруженной на резистор, сопротивление которого равно волновому,

,

Z_вх= .

Таким образом, при согласованной нагрузке напряжения на любом расстоянии от конца линии равно напряжению в нагрузке, ток в любом сечении: , а входное сопротивление ДЛ в любом сечении будет равно волновому:

Z_вх= ρ (см. рис.2.3).

Рассмотрим входное сопротивление отрезка линии без потерь длиной λ/4, нагруженного на резистор Z_н=R_н (рис.2.4). Если в выражениях для и y=λ/4, то:

Рис. 2.3 Рис. 2.4

При этом входное сопротивление линии

.

Следовательно, входное сопротивление четвертьволновой линии обратно пропорционально сопротивлению нагрузки Z_н. Этим свойством четвертьволновых линий широко пользуются для практических целей, например, для согласования линии с нагрузкой или для согласования линий с различными волновыми сопротивлениями. Пусть волновое сопротивление первой линии ρ₁, второй – ρ₂. Чтобы выход первой линии соединить со входом второй, необходимо между этими линиями поставить согласующий трансформатор в виде четверть волнового отрезка линии с волновым сопротивлением (рис.2.4). Для ρ₁=100 Ом; ρ₂=400 Ом волновое сопротивление согласующей линии =200 Ом. Тогда выход первой линии будет нагружен на сопротивление R=200²/400=100 Ом, а вход второй линии подключен к R=200²/100=400 Ом (рис.2.5).

Рис. 2.5

Таким образом, если первая линия не имеет согласующего трансформатора, то для получения согласованного режима ее следует нагрузить на резистор с сопротивлением 100 Ом. Если к концу линии подключить четвертьволновый отрезок с волновым сопротивлением 200 Ом, то для согласованной работы первой линии к выходным точкам согласующей линии ( к точкам D, F на рис.2.4) нужно подключить не 100, а 400 Ом. Аналогично, для согласованной работы второй линии к ее выходу необходимо подключить без какого-либо согласующего устройства источник сопротивлением 100 или 400 Ом, включенный через согласующую линию.

Предварительный расчет

1. Рассчитать и построить зависимости комплексных входных сопротивлений в функции от длины линии, работающей в режимах: холостого хода, короткого замыкания и согласованной нагрузки. Построить соответствующие кривые. (Исходные данные берут в соответствии с номером стенда.)

2. Определить частоты, при которых на линии укладывается длина волны от λ до (4/16) λ через (1/16) λ. Результаты расчетов занести в табл.2.1.

3. Вычислить входное сопротивление четвертьволнового отрезка линии, нагруженного на резистор сопротивлением R_н=15, 50, 100, 200, 400, 800, 1500, 3000, 10 000, 20 000 Ом. Результаты расчетов занести в табл. 2.2.

Задание. Проанализировать зависимость полного сопротивления ДЛ в функции координаты “y”.