Лабораторная работа № 1 переходные процессы в линейных неразветвленных электрических цепях

1. Цель работы

1. Изучить характер протекания переходных процессов в линейных неразветвлённых электрических цепях.

   1. При наличии одного накопителя энергии (индуктивности или ёмкости).

   2. При наличии, одновременно, двух разнородных накопителей энергии (и индуктивности, и ёмкости).

2. Исследовать влияние соотношения r, L, С параметров на характер и длительность протекания переходных процессов.

3. Снять осциллограммы тока в индуктивности и падения напряжения на ёмкости.

2. Теоретические положения

Переходным процессом называется процесс, протекающий в электрической цепи между двумя её устойчивыми состояниями, например, включено и выключено [1-3].

Переходные процессы обусловлены явлением перераспределения энергии между источником и потребителями, способными накапливать энергию – катушками индуктивности и конденсаторами. Часть энергии при этом необратимо теряется, преобразуясь в активных сопротивлениях в тепловую форму.

Изменение запаса энергии магнитного поля, накопленного катушкой индуктивности

_,

и электрического поля, накопленного конденсатором

_,

не может происходить мгновенно, скачком, так как в этом случае мощность этих элементов

_,

пропорциональная скорости изменения энергии, будет стремиться в бесконечность, что физически невозможно.

Из сказанного следуют два основополагающих закона коммутации:

1. Запрет скачка тока в цепи с катушкой индуктивности;

2. Запрет скачка падения напряжения на конденсаторе.

В общем случае, длительность переходного процесса невелика – от сотых до десятых долей секунды, и зависит от величины и соотношения r, L, C параметров элементов схемы, однако, так как токи и падения напряжений на элементах могут в десятки раз превышать установившиеся номинальные значения, становится очевидной необходимость проверки проектируемых схем на их способность выдерживать переходные процессы.

В зависимости от условий возникновения различают:

1. переходный процесс при нулевых начальных условиях;

2. переходный процесс при ненулевых начальных условиях.

Описание переходного процесса производится для мгновенных значений токов и падений напряжений на основании законов Кирхгофа, причём уравнения составляются для той схемы, которая возникает в момент начала переходного процесса.

Получающиеся уравнения необходимо решать относительно токов в индуктивностях или падений напряжений на конденсаторах, так как только в этом случае могут быть применены законы коммутации, позволяющие установить связь между режимами работы цепи до и после возникновения переходного процесса.

В общем случае, токи и напряжения переходных режимов описываются неоднородными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, полное решение которых находят в виде суммы:

1. частного решения неоднородного дифференциального уравнения;

2. общего решения однородного дифференциального уравнения.

В отличие от высшей математики, в курсе ТОЭ частное решение неоднородного дифференциального уравнения может быть получено из расчёта установившегося режима работы той схемы, которая образовалась в момент возникновения переходного процесса (в момент коммутации). Этот режим называют вынужденным (или принужденным) внешней силой, то есть источником энергии.

Общее решение однородного дифференциального уравнения, получаемого из неоднородного путём приравнивания его правой части к нулю (это, как правило, ЭДС источника энергии), описывает процесс в электрической цепи, который возникает при внезапном освобождении её от внешней принуждающей силы (источника энергии), в результате чего, токи и напряжения получили название свободных составляющих.

Свободные токи и падения напряжений есть результат действия внутренних накопителей энергии – индуктивностей и ёмкостей, а также элементов, рассеивающих электрическую энергию – активных сопротивлений.

Величины r¸L¸C параметров и их соотношение определяет характер переходных процессов: апериодический или колебательный, что можно установить из анализа корней характеристического уравнения, получаемых из однородного дифференциального уравнения.

Таким образом, схематически или условно, переходный процесс для удобства анализа и расчёта представляют как результат наложения двух режимов: принуждённого и свободного:

_{. (1.1)}

И сследуемая в лабораторной работе электрическая цепь представлена на рис.1.1.

Рис. 1.1

Схема содержит:

- задающий генератор (ЗГ), который вырабатывает непрерывно следующие друг за другом прямоугольные импульсы (рис.1.2),

- наборы r, L, С элементов с ключами, позволяющими включить или отключить от схемы любой из r, L, С элементов,

- диод VD1, предназначенный для подачи в схему только положительных импульсов напряжения, а также

- диод VD2 с резистором R_p, предназначенные для создания замкнутого контура с целью разряда энергии, накапливаемой в индуктивностях и конденсаторах схемы.

Переходные процессы, возникающие в электрической цепи при воздействии на неё прямоугольных импульсных напряжений, называются нестационарными. Здесь за интервал наблюдения (рис.1.2), равный одному периоду T импульсного напряжения, переходный процесс распадается на два этапа. На первом этапе – от нуля до t₁ на схему воздействует как бы постоянное положительное напряжение, равное напряжению источника питания (ЗГ), при этом в электрической цепи возникает переходный процесс аналогичный случаю её включения на источник постоянного напряжения. На втором этапе от t₁ до t₂ напряжение ЗГ равно нулю (имеет место пауза) и в схеме развивается переходный процесс, связанный с перераспределением энергии, накопленной в магнитном поле индуктивности или электрическом поле конденсатора, между элементами схемы.

Рис. 1.2

Поэтому на первом этапе переходный процесс называется принуждённым (ЗГ), на втором этапе - свободным, а в целом, за период наблюдения T – п. п. называют нестационарным.

Для того чтобы переходный процесс в схеме успевал закончиться за один период наблюдения T, то есть до подачи на схему следующего прямоугольного импульса напряжения, параметры элементов схемы или частота импульсов (ЗГ) – f_з.г. должны быть подобраны таким образом, чтобы выполнялось неравенство вида

, (1.2)

где t₁ = t_имп = 1/f_з.г. – длительность импульса напряжения, определяемая, как величина обратная частоте ЗГ; t – постоянная времени электрической цепи, зависящая от параметров элементов и схемы их соединения.

Рассмотрим переходный процесс в r¸С цепи. На первом этапе 0 £ t £ t₁ на r¸С цепь будет воздействовать постоянное напряжение, тогда в соответствии со вторым законом Кирхгофа получим:

(1.3)

И так как ток переходного режима одновременно является током и в конденсаторе

_{. (1.4)}

Уравнение (1.3) преобразуем к виду

_{. (1.5)}

Решение неоднородного дифференциального уравнения (1.5) в соответствии с (1.1) можно представить следующим образом

, (1.6)

где принуждённая составляющая падения напряжения на конденсаторе в соответствии с анализом схемы должна быть равна напряжению импульса ЗГ:

. (1.7)

Тогда получая из (1.5) однородное дифференциальное уравнение

и составляя для него характеристическое уравнение

_,

найдём корень характеристического уравнения

_{. (1.8)}

Так как корень отрицательный, вещественный, то общее решение однородного дифференциального уравнения будет иметь вид:

_{, (1.9)}

где А - постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий.

Подставляя (1.7) и (1.9) в (1.6), получим

_{. (1.10)}

Так как до подачи импульса с ЗГ конденсатор не был заряжен, то при t < 0

u_C(t < 0) = 0. В момент (t = 0) подачи импульса с ЗГ на схему, в соответствии со вторым законом коммутации (запрет скачка напряжения на конденсаторе) напряжение на конденсаторе не изменится: u_C(t = 0) = 0.

Подставляя начальные условия в (1.10), получим

, (1.11)

откуда:

_{A = - U0. (1.12)}

С учётом (1.12) уравнение (1.10) приобретает вид

_{, (1.13)}

где t₀ = r_C - постоянная r¸C цепи.

Зная длительность импульса t_и = t₁ = 1/f_з.г., можно, используя (1.13) определить напряжение U_C(t_имп), до которого успевает зарядиться конденсатор за время действия импульса ЗГ. Для этого текущее значение времени в (1.13) нужно заменить на величину равную длительности импульса.

На втором этапе t₁ £ t £ t₂ напряжение ЗГ равно нулю – имеет место пауза, в связи с чем, u_{с прин} = 0 и уравнение (6) принимает вид

_{, (1.14)}

где t' – время, отсчитываемое от момента окончания импульса t₁, воздействующего на r¸C цепь; А₁ – постоянная, численно равная напряжению, до которого успел зарядиться конденсатор за время действия импульса на первом этапе от нуля до t₁:

_{. (1.15)}

Тогда, на втором этапе уравнение, описывающее изменение напряжения на конденсаторе, после подстановки 1.(15) в (1.14) можно записать как:

_{. (1.16)}

На практике, однако, желательно иметь решение задачи с одним общим отсчётом времени. Для этого заменяют t' на (t - t_и) и тогда уравнение (1.16) преобразуется к виду:

_{. (1.17)}

Аналогичного типа нестационарный переходный процесс возникает при воздействии импульсных напряжений на r¸L цепь. Здесь на первом этапе от 0 до t₁ может быть получено уравнение подобное (1.13):

_{, (1.18)}

где – постоянная времени r¸L цепи.

А для второго этапа, от t₁ до t₂, когда напряжение ЗГ равно нулю и имеет место пауза

_{, (1.19)}

где , так как при разряде энергии накопленной в магнитном поле индуктивности в контур разряда включается добавочное разрядное сопротивление.

Несколько сложнее получается аналитическое описание нестационарных переходных процессов в r¸L¸C цепях, с двумя разнородными накопителями энергии.

Например, неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, записанное относительно падения напряжения на конденсаторе для r¸L¸C цепи имеет вид:

_{. (1.20)}

Решение неоднородного дифференциального уравнения (1.20) также как и (1.5), будет иметь две составляющие и .

_.

Принуждённую составляющую находим из анализа схемы в установившемся режиме: , а свободную – из решения однородного дифференциального уравнения:

. ^(1.21)

Составляя для (1.21) характеристическое уравнение

, (1.22)

находим его корни:

_{, (1.23)}

где – коэффициент затухания; – собственная резонансная частота незатухающих колебаний последовательного резонансного контура; – угловая частота затухающих колебаний.

Из (1.23) следует, что в зависимости от соотношения r¸L¸C параметров схемы корни характеристического уравнения могут изменяться. Установим, как вид корней, а следовательно, соотношение r¸L¸C параметров влияет на форму общего решения однородного дифференциального уравнения второго порядка.

1. Если корни характеристического уравнения отрицательные, вещественные, различные, то

_,

откуда

_{. (1.24)}

В этом случае токи и падения напряжений переходных режимов изменяются плавно или монотонно, или апериодически, а общие решения дифференциальных уравнений для тока в индуктивности и падения напряжения на конденсаторе имеют вид:

_{, (1.25)}

_{, (1.26)}

где .

2. Если корни характеристического уравнения отрицательные, вещественные, равные, то

_,

откуда

_{. (1.27)}

В этом случае характер изменения токов и напряжений переходных режимов называется критическим, а общие решения однородных дифференциальных уравнений для токов индуктивности и падения напряжения на конденсаторе имеют вид:

_{, (1.28)}

_{, (1.29)}

_где

3. Если корни характеристического уравнения комплексно сопряжённые числа с отрицательной вещественной частью, то

_,

откуда

_(1.30)

В этом случае токи и напряжения переходных режимов изменяются по периодическим законам с затухающими амплитудами, а общие решения однородных дифференциальных уравнений для тока в индуктивности и падения напряжения на конденсаторе имеют вид:

_{, (1.31)}

_{, (1.32)}

где

_;

_.

Выражения (1.25) и (1.26), (1.28) и (1.29), (1.31) и (1.32) могут применяться для описания в r¸L¸C цепи второго этапа нестационарного переходного процесса на интервале от t₁ до t₂.

На первом этапе от 0 до t₁, когда на r¸L¸C цепь действует импульс напряжения ЗГ, уравнения для тока в индуктивности и падения напряжения на конденсаторе имеют вид:

А) при r > 2r

_{, (1.33)}

_{; (1.34)}

Б) при r = 2r

_{’ (1.35)}

_{; (1.36)}

В) при r < 2r

_{, (1.37)}

_{. (1.38)}

Декремент колебаний токов и напряжений в случае периодического характера переходного процесса можно найти как

_{, (1.39)}

а логарифмический декремент колебаний, как

_{, (1.40)}

где: