2.2. Определение дисперсии случайной погрешности результата измерения

Согласно структурной схеме формирования погрешн6ости, приведенной на рис. 1.1, центрированная случайная составляющая погрешности Е(t) обусловлена центрированным случайным возмущением F(t), характеризующимся спектральной плотностью S_f(). Уравнения, связывающие случайные функции Е(t) и F(t), представлены выражением (2.6). Однако, это выражение не приспособлено для практического использования при определении характеристик случайной погрешности. Более предпочтительным является выражение, связывающее непосредственно спектральные плотности погрешности и случайного возмущения, а именно

(2.16)

где – спектральная плотность аддитивной погрешности Е_f(t),

– квадрат модуля частной характеристики СИ.

В свою очередь, спектральная плотность определяет такую важную числовую характеристику случайной погрешности как дисперсия. Выражение для дисперсии имеет следующий вид

.

После подстановки выражения (2.16) получим

(2.17)

В случае, если спектральная плотность S_f() выражается дробно-рациональной четной функцией, то интеграл

, (2.18)

где a_k, k - коэффициенты полиномов по j соответственно знаменателя и числителя следующего выражения

, (2.19)

где полином степени n,

полином степени не выше 2(n – 1).

Выражение для интегралов при n = имеют следующий вид

Таким образом, с учетом выражения (2.18) уравнение (2.17) запишется следующим образом

(2.20)

Пример 2.3. Положим k = 1,01

с,  = 0,6,

с, Вс^1/2

На основе уравнения (2.18) получим

Из этого соотношения следует, что

где n = 3, a₃ =1,

Для n = 3 имеем

Используя выражение (2.17) получим

В².

Заметим, что найденное значение дисперсии характеризует погрешность результата измерения для условия .

3. Разработка алгоритма обработки многократных измерений

3.1 Многократные измерения и их обработка

Качество результата измерения определяется величиной содержащейся в нем погрешности. Поэтому при измерении необходимо стремиться к тому, чтобы получить результат с минимальной погрешностью. Основными факторами, вызывающими появление погрешности результата измерения являются: метод измерения, несовершенство средства измерения, влияние условий измерения на параметры средств измерений и на измеряемую физическую величину и ее характер. Поэтому для получения высокоточных результатов необходимо создавать средства измерения, которые обладали бы малой инерционностью (W₀(р) = 1) и минимальным отклонением коэффициента чувствительности от номинального значения (k = 0), а также устойчивостью к внешним возмущающим воздействиям.

В реальных условиях при решении конкретных измерительных задач результат все равно будет содержать погрешность, поэтому для ее оценки и исключения из результата измерения необходимо использовать эффективные алгоритмы. Одним из путей решения этой проблемы – это применение многократных измерений и последующая обработка их результатов.

Многократное измерение – это измерение, при котором результат представляется совокупностью нескольких возможных значений. Результат измерения по своей природе всегда является случайной величиной. По определению каждая случайная величина связана с некоторым множеством возможных значений (конечным – для дискретной величины, несчетным – для непрерывной случайной величины). При измерении результат принимает одно из значений этого множества случайным образом. Повторяя измерения можно получить результаты многократных измерений.

Процесс многократных измерений достаточно длительный по времени, причем каждое возможное значение появляется в определенный фиксированный момент времени. Это означает, что совокупность возможных результатов измерений при многократных измерениях представляет упорядоченную совокупность – некоторую функцию дискретного аргумента времени, или иначе – последовательность. В практике измерений количество дискретных значений аргумента можно представить как у(t_k), и k = где у(t_k) – возможное значение результата измерения в момент t_k. Такую последовательность принято называть «выборкой объема n».

Последовательность у(t_k), k = содержит больше информации об измеряемой физической величине, чем однократное измерение, при котором результат принимает одно возможное значение, поэтому на ее основе можно получить более точную оценку значения измеряемой физической величины.

Таким образом, задача обработки результатов многократных измерений сводится к тому, чтобы построить такое преобразование случайной последовательности у(t_k), k = которое обеспечивало бы оптимальную оценку значения измеряемой физической величины. Аналитическое представление такого преобразования называется алгоритмом обработки многократных измерений.

Исходными данными для построения алгоритма обработки многократных измерений являются: математическая модель измеряемой величины в виде

где C_i, i = – постоянные коэффициенты,

_i(t), i = – базисные функции,

t_k, k = – план измерений, и допущение о равноточности и некоррелированности многократных измерений.