4. Класс-ция мат моделей в экологии.

Мат.модель-уравнение или сист.ур-й, выражающ. связи м/у переменными сис-мы.

1) Детерминированные- основаны на внутреннем описании сис-мы. Метод белого ящика (все видим, все знаем). Н-р: Х-Ж, Мальтуса. Детерменир модели- это модели, в α установлено взаимно-однозначное соответствие м/у переменными описывающими объект или явления. Детер-е переменные-величины поддающиеся (по крайней мере теоретически) точному измерению и управлению.

2) Стохастические – основаны на методах теор. вер-ти и мат.стат-ки (оперируют вероятностями). В стохастической модели связь м/у переменными носит случайный хар-р. Воздеймтвие ∞ кол-ва ф-ров, их сочетание приводит к случайному набору переменных описывающих объект или явление. Метод черного ящика. В стох. модели непременно присут-ет случ. переменная, заданная соотв-щим законом распред-я

3) Эмпирико-статистич – исп-ют статистич i о сис-ме. С помощью м-дов статистики строят м-ли. Устанавливают связь м/у входными и выходными переменными.

* Динамические-учитывают изменения сис-мы во времени.

* Стационарные(статич-е)-не учитывают время в кач-ве переменной, use тогда, когда сис-ма достаточна близка к равновесию. Н-р:Стацион.-е среди стохаст-х:простая и множественная, лин. и нелин. корреляция и регрессия, дисперсионный и ф-рный анализ. Динамич. среди стох-х: анализ Фурье, корреляц. и спекральн. анализ, весовые ф-ции.

По простр-ву.- однородные (y(t)) и неоднородные (y(t, x,y)).

- Аналитическими -модели реального объекта, use алгебраические, диф и др ур-я, а также предусматривающие осуществление однозначной вычислительной процедуры, приводящей к их точному реш-ю. Анал-е м.-это те, в α для опред-я значений предсказываемых величин пол-ся выражения в явном виде. При use анал.методов реш-е задачи удается выразить с помощью формул.

- Численные методы позволяют свести реш-е задачи к вып-ю конечного числа арифмет.действий над числами, при этом рез-ты получ-ся в виде числовых знач-й. Числ.методы позволяют получить лишь приближен. реш-е задачи.

1-Имитационные модели – числ-ая модель, основана на как м. более полном описание сис-мы с use блочности (блоки соед-ся в одно целое). Имитац-ми наз-ся модели, воспроизводящие алгоритм ф-ционирования исследуемой сис-мы путем последовательного выполнения большого кол-ва элементарных операций. Это модели α м.б описаны с помощью набора определ-х мат. операций, таких, как реш-е ДУ или use случ. чисел. Преимущества:–Большая близость к реальной сис-ме, чем у мат моделей;–Блочный принцип дает возм.сть верифицировать каждый блок до его включения в общую сис-му;–Use зависимостей более сложного хар-ра, не описываемых простыми мат соотношениями. Недостатки:–построить имитационную модель дольше, труднее и дороже;–для работы с имитационной сис-мой необходимо наличие подходящей по классу ЭВМ;–построение имитационной модели требует >глубокого изучения реального процесса, чем мат модел-е. Имитационная модель – это программа, реализующая некоторый алгоритм, для оптимизации управления α прежде решается оптимизационная задача. Модели бывают дискретными и непрерывными, а также смешанного типа. В непрерывных переменные принимают значения из некоторого промежутка, в дискретных переменные принимают изолированные значения. Дискретность- хар-рный признак именно компьютерных моделей. Ведь компьютер м. находиться в конечном, хотя и очень большом кол-ве сост-й. Даже if объект непрерывен (t), в модели он будет ∆. М. считать непрерывность признаком моделей некомп типа.

Линейные модели- все ф-ции и отнош-я, описывающие модель, линейно зависят от переменных

Разностные модели.

Разностные уравнения (РУ)- ур-я, α связывают знач-я дискретных переменных в разные моменты t.

Общий вид РУ 1-го порядка:x_n=f(n)x_n+g(n), гдеf(n) и g(n)-заданные ф-ции, если g(n)=0,то это однородное разн-е ур-е, иначе-неоднородное. Н-р:линейное РУ 1-го порядка:x_n=rx₀-экспоненциальная модель роста популяции, x_n+1=rx_n(1-x_n)-логистическая= rx_n-rх²_n, где rх²_n-внутривидовая борьба . Если х будет не в 1-ой степени,то РУ-нелинейное. Линейные РУ 2-го порядка: a(n)x_n+2+b(n+1)x_n+1+c(n)x=d(n), где a(n),b(n),c(n)-заданные ф-ции, если d(n)=0-то однородное РУ.Н-р: a(n)x_n+2+b(n+1)x_n+1+c(n)x=0-получаем при изучении модели роста и конкуренции популяции.

Матричные модели-это дискретные, разностные модели, учитывает несколько переменных. Они use для описания ∆численности популяции с учетом возрастной структуры.1-я такая модель б. предложена Лесли: Ax_t=x_t+1, где А-матрица, состоящая из коэф-тов плодовитости и выживания для каждого возрастного класса, x_t ,x_t+1-вектор-столбцы, представляющие возрастную структуру популяции в момент t и t+1. Ax=λx, где λ-глав. собственное число м-цы Лесли, α дает скорость с α возрастает размер популяции при установившейся возрастной структуре. Зная λ с помощью уравнения H=100((λ-1)/λ), м. оценить долю особей H(%), к-ю нужно изъять из популяции, чтобы вернуться к исходному размеру.

Оптимизационные модели. Оптимизация-поиск оптимального реш-я (max, min) целевой ф-ции - одна из выходных переменных или их линейная комбинация. Локальный оптимум –точка в α целевая ф-ция имеет наибольшее значение по сравнению с др. точками в ее ближайшее окрестности. Глобальный оптимум-оптимальное реш-е для всего пр-ва проектных решений. Методы одномерной оптимизации. Пусть М(х)-ф-я одной переменной, где хЄ[a,b]. Чтобы найти М(х^*)=min м. исп-ть : 1)Метод общего поиска: нужно отрезок [a,b] разделить на множество отрезков[a= x_0,x _1,x_2,....xn=b] и найти min [М₁,М₂,..М_n] и выбрать min М_i= М^* 2)Метод половинного деления3)М-д дихотомии4)М-д золотого сечения.

М-ды многомерной оптимизации.1)М-д координатного спуска. М(х₁, х₂,…х_n)-целевая ф-ция,1 шаг- М₀(х₁, х₂⁰,…х_n⁰) –фиксируем все координаты кроме первой и приходим к одномерной оптимизации. 2)Метод градиентного спуска. 3)М-д случайного поиска.

Задача линейного программирования - это задача оптимизации в случае когда целевая ф-ция является линейной ф-цией проектных параметров. М(х₁, х₂,…х_n)=a₁x₁+a₂x₂+…+а_ux_u=∑a_i*x_i

Регресс модели:-дают связи м/у входными и выходными переменными на основе аппроксимации стат данных, use also на этапе эмпирико-стат модел-я.