Примеры географических проекций

П олучение стереографической проекции

Проекция Фуллера сохраняет непрерывность земной поверхности.

Равноугольные проекции сохраняют углы и полезны для навигационных карт и карт погоды. Но форма сохраняется лишь для небольших участков форма крупных областей, таких как континенты, будет существенно искажена. Конформная коническая проекция Ламберта и проекция Меркатора примеры обычных равноугольных проекций.

Р авнопромежуточные проекции сохраняют расстояния, но ни однапроекция не может сохранить расстояния от всех точек до всех точек. Однако можно сохранить расстояния от одной точки (или нескольких точек) до всех точек, или вдоль всех меридианов или всех параллелей. Если вы будете использовать карту для поиска объектов, находящихся в пределах заданного расстояния от других объектов, вы должны использовать равнопромежуточные картографические проекции.

Азимутальные проекции сохраняют направление от одной точки до всех других точек. Это свойство может сочетаться с сохранением площадей, углов или расстояний. Это возможно, например, в Азимутальной равновеликой проекции Ламберта или в Равнопромежуточной азимутальной проекции.

Д ругие проекции минимизируют все искажения, при этом не сохраняют полностью ни одно из пространственных свойств.

Проекция Робинсона, например, не является ни равноплощадной, ни конформной, но она хороша с эстетической точки зрения и удобна для составления общих карт.

Равноплощадные проекции сохраняют площадь. Также их называют равновеликими проекциями. Многие тематические карты используют равновеликие проекции. Карты Соединенных Штатов обычно выполнены в Равновеликой конической проекции Альберта; для карт мира обычно используются равновеликая цилиндрическая или синусоидальная проекции.

Ортодромия

Кратчайшее расстояние между двумя точками на поверхности земного шара по дуге большого круга, плоскость которого проходит через центр Земли, называется ортодромией.

Ортодромия пересекает меридианы под разными углами. Экватор и меридианы можно рассматривать как частные случаи ортодромии. Ортодромией является также и линия всякого пеленга (ортодромический пеленг).

Например, при полетах на расстояние более 1000 км основное направление полета прокладывается по ортодромии, которая разбивается на ряд участков (внутри каждого из участков путь прокладывается по локсодромии, по которой и совершается полет).

Ортодромический путевой угол  рассчитывается по формулам:

1) sin  = (cos ₂ sin (₂ - ₁)) / sin S;

2) ctg  = cos ₁ tg ₂ cosec (₂ - ₁) - sin ₁ ctg(₂ - ₁).

Пример. ₁ = 30°, ₁ = 45°, ₂ = 50°, ₂ = 65°. Определить .

Решение. Определяем: cos 30° = 0,866, tg 30° = 0,5, tg 50° = 1,192, ctg (65° — 45°) = 2,747, cosec (65°— 45°) = 2,924,

ctg  = 0,866*1,192*2,924 — 0,5*2,747 = 1,6449;  = 31°20'.

На рис. А и В — точки с координатами ₁, ₁ и ₂, ₂; дуга АВ — ортодромия;  — ортодромический путевой угол в точке А.

Ортодромическое расстояние S, т. е. расстояние по дуге большого круга, рассчитывается по формуле:

cos S = sin ₁ sin ₂ + соs ₁ соs ₂ cos(₂ — ₁)

или

sin S = (cos ₂ sin (₂ - ₁)) / sin .

Пример. ₂ = 40°, ₂ = 80°, ₁ = 70°,  = 43°. Определить S.

Решение. Определяем: соs 40° = 0,7660, sin (80° — 70°) = 0,1736, sin 43° = 0,6820.

sin S = (0,766*0,1736) / 0,682 = 0,1947;

S = 11°14' = 674' = 1248,248 км.

Вычисленное по этим формулам расстояние S будет выражено в дуговой мере; после перевода градусов дуги в минуты и умножения результата на 1,852 получим расстояние в километрах.

Для построения на карте ортодромии необходимо определить несколько промежуточных точек, через которые должна пройти ортодромия. После этого последовательно соединить начальную, промежуточные и конечную точки. В результате такого построения на карте получится линия, которую и принимают за ортодромию.

Промежуточные точки намечаются через определенное число градусов долготы в зависимости от длины пути и кривизны ортодромии. Расчет сводится к определению широты или расстояния промежуточных точек.

Вычисления производятся одним из следующих способов.

Первый способ. Можно получить промежуточные точки, задаваясь их долготами и используя вспомогательную точку вертекса — точку на карте, в которой ортодромия составляет с меридианом угол 90°. Эта точка имеет наибольшую широту ортодромии (большого круга). Координаты вертекса (₀,₀) определяются по формулам:

cos ₀ = cos ₁ sin ;

ctg(₀ - ₁) = sin ₁ tg 

Широта промежуточной точки  вычисляется по формуле:

tg  = tg ₀ cos(₀ - ).

Задаваясь различными значениями долготы , по этой формуле получим соответствующие широты .

Второй способ. Можно вычислять координаты промежуточных точек, выбранных, через определенные расстояния по ортодромии или через расстояния по ортодромии, соответствующие изменению путевого угла на 1°.

В этом случае расчет производится по формулам:

tg S = tg(₀ - ) cos ₀

По этой формуле можно вычислить расстояние по ортодромии от точки с долготой  до вертекса. Если весь маршрут полета лежит по одну сторону от вертекса, то после вычисления по этой формуле S₁ = A*V и S₂ = B*V находят искомое расстояние S как разность S = S₁ - S₂.

Если же маршрут проходит через вертекс, то S = S₁ + S₂.

Задаваясь определенными промежутками по ортодромии S, начиная от места вылета, вычисляют долготы соответствующих точек по формуле:

ctg(₀ - ) = ctg S cos ₀.

Широту этих точек можно получить по формулам:

tg  = tg ₀ cos (₀ - );

tg _A = ctg ₀ cosec S_A,

где _A — путевой угол у точки A;

S_A — расстояние по ортодромии от точки А до вертекса.

Для любой точки ортодромии путевой угол  можно получить по формуле:

tg  = ctg ₀ cosec S,

где S — расстояние по ортодромии от намеченной точки до вертекса.

Задаваясь путевыми углами (например через каждый градус), можно получить расстояние по ортодромии (до вертекса) и, следовательно, все промежуточные точки по формуле:

sin S = ctg ₀ ctg 

Графический расчет ортодромии производится по карте центральной проекции или гномонической сетки. В этом случае на этих картах заданные пункты маршрута соединяют прямой линией, которая и будет ортодромией. Чтобы перенести ортодромию на карты других проекций, необходимо выбрать на ней ряд промежуточных точек, снять координаты этих точек — долготу и широту — и перенести на желаемую карту. Полученные точки соединить прямыми линиями или же провести согласную кривую по лекалу. Кроме того, промежуточные точки ортодромии можно определить при помощи специальных таблиц.

Локсодромия — спиральная линия, проходящая по поверхности земного шара и пересекающая меридианы с одним и тем же постоянным углом , называемым локсодромическим путевым углом.

Для того чтобы на полетных картах проложить локсодромический путь, необходимо соединить конечные точки маршрута прямой линией и измерить путевой угол у среднего меридиана. Точнее, локсодромический путевой угол рассчитывается как средний угол, снятый у начальной и конечной точек маршрута. После этого полученный путевой угол строят последовательно у всех меридианов на карте, начиная от пункта вылета. Полученная при построении ломаная линия практически близко подходит к локсодромии.

Более точно локсодромический путевой угол  может быть вычислен по формуле:

tg  = ((₂ - ₁) / (₂ - ₁)) cos _ср,

где  — искомый путевой угол;

₁ и ₂ — широты пунктов вылета и прибытия, выраженные в минутах дуги;

₁ и ₂ — долготы этих пунктов, выраженные в минутах дуги;

_ср — средняя широта перелета в градусах.

Пример. Определить истинный локсодромический путевой угол  при полете из г. Реймса в г. Потсдам.

Решение. Определяем координаты:

— Реймса ₁ = 49°15' = 2955'; ₁ = 4°02'.= 242';

— Потсдама ₂ = 52°24' = 3144'; ₂ = 13°04' = 784';

средняя широта _ср = 50°50'; соs 50°50' = 0,6316. Следовательно,

tg  = ((784 - 242) / (3144 - 2955))*0,6316 = 1,806  = 61°.

Полученный результат будет правильным, если конечная точка маршрута лежит в первой четверти (0 — 90°). Если конечная точка лежит во второй четверти (90° — 180°), искомый путевой угол получают, вычитая полученное число градусов из 180°. Если же конечная точка находится в третьей четверти (180° — 270°), к полученному углу прибавляют 180°, а если в четвертой четверти (270° — 360°), то полученный угол вычитают из 360°.

Длина локсодромии в км определяется по формулам:

а) Для углов , близких к 0° или 180°,

S = 1,852*(₂ - ₁) / cos ,

где ₁ и ₂ — широты пунктов вылета и прибытия, выраженные в морских милях (минутах), или

S = 111,18*(₂ - ₁) / cos 

где ₁ и ₂ выражены в градусах.

Решая предыдущий пример по первой формуле, получим:

S = 1,852*(3144 - 2955) / 0,4848  722 км.

б) Для углов , близких к 90° или 270°,

S = ((₂ - ₁) / sin ) cos _ср * 1,852.

Разность между длинами локсодромии и ортодромии S достигает своей максимальной величины при полете вдоль параллели.

Измерения в трехмерных моделях ГИС