Введение в системы координат и проекции.

Рис. 1. Представление о форме планеты в древности

Представления людей о форме Земли менялись со временем. В те времена, когда Земля была плоской и покоилась на трёх слонах, особых трудностей с отображением её поверхности не возникало.

Но уже во времена античности пришло понимание шарообразной форме Земли (рис. 2а). А в 17 веке из знания о том, что планета вращается вокруг своей оси логично вытекало следствие о сплюснутости её с полюсов (рис. 2б). Дальнейшие измерения показали, что форма Земли грушевидная, сплюснутая у полюсов и выпяченная на экваторе (рис. 2в).

Рис. 2. Изменение представлений о форме Земли: в античные времена (слева); в 17 веке (в центре); в настоящее время (справа)

В результате длительного развития представлений о форме Земли как планеты сложилось понятие о геоиде.

Термин предложил в 1873 году немецкий физик Листинг.

Поверхность геоида совпадает с поверхностью морей и океанов в их спокойном состоянии и мысленно продолжается под материки. Эта поверхность принимается за математическую поверхность Земли, или "уровень моря", от которого отсчитывают высоты точек земной поверхности (так называемые ортометрические высоты). Но форма геоида весьма сложна и зависит от распределения масс и плотностей в теле Земли.

Точно установить положение геоида под материками очень сложно, поскольку измерения силы тяжести выполняются на физической поверхности Земли, а затем довольно сложными приемами редуцируются на поверхность геоида с известной долей неопределенности. Чтобы упростить решение проблемы, М.С. Молоденский вместо геоида предложил использовать поверхность квазигеоида, для описания которого достаточно теоретически рассчитанных значений так называемой нормальной силы тяжести на земной поверхности без привлечения данных по распределению масс и плотностей в теле Земли.

Фигура квазигеоида совпадает с геоидом на территории Мирового океана и очень близко подходит к нему на суше, отклоняясь не более чем на 2 метра в высоких горах и на несколько сантиметров на равнинной местности (рис. 3).

Поверхность квазигеоида не является уровенной. Тем не менее, она принимается отсчетной для определения так называемых нормальных высот, то есть, расстояния от данной точки на физической поверхности до квазигеоида.

Однако система нормальных высот не нашла повсеместного применения. Не смотря на сложность математического выражения уровенной поверхности, в большинстве стран принята ортометрическая система высот, в основе которой лежит тот или иной геоид. Модель такой поверхности можно описать путем вычисления значений потенциала земного притяжения в точках с известными координатами с помощью разложения по сферическим функциям — гармоникам, с последующим выделением поверхности с равными значениями потенциала.

Это требует использования в уравнении десятков тысяч коэффициентов. Их количество зависит от желаемого разрешения описываемой модели, то есть, чем их больше, тем точнее модель. Например, в модели геоида ЕвМ96 используются формула полинома 360 порядка с 65338 коэффициентами. Коэффициенты сферических гармоник для различных моделей геоидов можно скачать с сайта Международной службы геоидов.

Очевидно, что использовать формулу с таким большим количеством коэффициентов для расчета поверхности достаточно сложно.

Рис. 3. Соотношение различных поверхностей, аппроксимирующих Землю.

Но если в рядах сферических функций оставить гораздо меньшее количество членов, то можно получить более простую модель геоида. Наиболее удобной из таких моделей (математической поверхностью) является двухосный эллипсоид вращения (рис. 4) вследствие того, что он имеет намного более простую математическую форму, доступен для математических расчетов и сильно не отличается от фактической грушевидной формы Земли. Поверхность геоида отличается от поверхности эллипсоида в пределах 100 метров в ту или иную сторону, что гораздо меньше, чем отличия эллипсоида и сферы.

Чтобы с такой поверхностью можно было работать, необходимо знать его основные параметры: большая полуось а, малая полуось Ь, полярное сжатие (а-Ь)/а (рис. 4).

Р

Р1

ис. 4. Двухосный эллипсоид.

В последние пятнадцать лет спутниковые данные позволили, используя новые методы измерений, определить оптимально соответствующий поверхности Земли эллипсоид, который связывает координаты с центром масс Земли.

Являясь геоцентрическим (глобальным), этот эллипсоид использует центр масс Земли в качестве начала отсчета. Наиболее широкое использование в настоящее время получил геоцентрический (глобальный) эллипсоид WGS84 (World Goodetic System 1984). Он служит основой для измерения местоположений во всем мире.

Общеземной эллипсоид ориентируется в теле Земли согласно следующим условиям (определяемыми международными геодезическими организациями, которые организуются и направляются Международной ассоциацией геодезии, действующей по инициативе и в рамках Международного геодезического и геофизического союза):

Малая полуось должна совпадать с осью вращения Земли.

Центр эллипсоида должен совпадать с центром масс Земли.

Сумма квадратов отступлений геоида от общеземного эллипсоида должна быть по всей Земле наименьшей из всех возможных

Требования к общеземным эллипсоидам на практике удовлетворяются с некоторыми допусками из-за отличных друг от друга методов и средств наблюдений и измерений. Поэтому в геодезии и смежных науках могут использоваться различные реализации эллипсоида, параметры которых очень близки, но не совпадают.

Система спутниковой навигации GPS сообщает координаты в системе эллипсоида WGS84 (World Goodetic System 1984). Эллипсоид IERS96 (International Earth Rotation Service 1996), предлагаемый в стандартах Международной службы вращения Земли, рекомендуется использовать при обработке РСДБ-наблюдений.

Для геодезических работ рекомендуется использовать средний эллипсоид GRS80 (Geodetic Reference System 1980), принятый Генеральной Ассамблеей Международной ассоциацией геодезии в 1979г.

http : //www.giscraft.ru/info/cs/cs.shtml

И, если глобальный эллипсоид наилучшим образом согласуется с поверхностью геоида в целом, то для того, чтобы описать поверхность Земли для данной конкретной территории, используют так называемые локальные эллипсоиды, которые наилучшим образом согласуются с геоидом на ограниченной части его поверхности (рис. 5).

Определение расстояний на поверхности Земли

Размеры и форма Земли

Форма Земли отличается от шара и имеет несколько сплющенную форму, близкую к сфероиду (эллипсоиду вращения), но истинная фигура Земли отличается и от сфероида, и от трехосного эллипсоида и не может быть представлена ни одной из известных математических фигур.

Поэтому, говоря о фигуре Земли, имеют в виду не физическую форму земной поверхности, с океанами и материками, с их возвышенностями и впадинами, а так называемую поверхность геоида.

Поверхность, нормалями к которой в любой из ее точек являются отвесные линии, называется уровенной поверхностью, или поверхностью равновесия. Уровенных поверхностей, как внутри Земли, так и охватывающих земную поверхность, или пересекающихся с ней, можно провести бесчисленное множество.

Та поверхность равновесия, которая совпадает в открытом океане с поверхностью покоящейся свободной воды, называется геоидом.

Для решения многих задач навигации и составления карт мелкого масштаба Землю принимают за сферу (шар).

Положение точки па земной сфере определяется сферическими координатами: сферической широтой и сферической долготой (в картографии применяют термин "географические координаты").

Сферическая широта точки А — угол φА между плоскостью экватора и направлением R на данную точку из центра земной сферы.

Сферическая долгота точки А — угол λА, заключенный между плоскостью нулевого (Гринвичского) меридиана и плоскостью меридиана данной точки.

Средний радиус Земли R = 6371210 м.

Экваториальный радиус Земли RЭ = 6378,245 м.

Полярный радиус Земли RП = 6356,830 м.

Длина дуги меридиана (дуги экватора, дуги окружности большого круга) в 1°, 1′ и 1″ равна соответственно:

111 197 м (111,2 км), 1852 м (1,852 км) и 30,9 м.

Меридианы и параллели на поверхности Земли

Определение координат на поверхности Земли

Законы сферической тригонометрии позволяют рассчитывать расстояния между точками, расположенными на сфере.

Кратчайшее расстояние между двумя точками на земной поверхности (если принять ее за сферу) определяется зависимостью:

cos(d) = sin(φА)·sin(φB) + cos(φА)·cos(φB)·cos(λА − λB),

где φА и φB — широты, λА, λB — долготы данных пунктов, d — расстояние между пунктами, измеряемое в радианах длиной дуги большого круга земного шара.

Расстояние между пунктами, измеряемое в километрах, определяется по формуле:

L = d·R,

где R = 6371 км — средний радиус земного шара.

Для упрощения решения некоторых навигационных задач Землю принимают за шар и пользуются геосферическими координатами.

Геосферическая широта измеряется углом между плоскостью экватора и направлением на данную точку из центра земного шара.

Геосферическая долгота определяется тем же углом, что и географическая. Опытным путем установлено, что разность между географической широтой и геосферической незначительна и не превышает 11’33”.

Д олгота места, кроме угловых величин, может измеряться в единицах времени (часах, минутах и секундах), 1ч соответствует долготе 15°. Долгота отсчитывается от начального меридиана к востоку и западу от 0 до 12ч. Измерение долготы в единицах времени основано на суточном вращении Земли.

Различие между географической (φ_g) и геоцентрической (φ_a) широтами.

Принципы определения координат GPS

Дальнометрия основана на вычислении расстояния по временной задержке распространения радиосигнала от спутника к приемнику. Если знать время распространения радиосигнала, то пройденный им путь легко вычислить, просто умножив время на скорость света.

Каждый спутник системы GPS непрерывно генерирует радиоволны двух частот - L1=1575.42МГц и L2=1227.60МГц. Мощность передатчика составляет 50 и 8 Ватт соответственно. Навигационный сигнал представляет собой фазовоманипулированный псевдослучайный код PRN (Pseudo Random Number code). PRN бывает двух типов: первый, C/A-код (Coarse Acquisition code - грубый код) используется в гражданских приемниках, второй Р-код (Precision code - точный код), используется в военных целях, а также, иногда, для решения задач геодезии и картографии. Частота L1 модулируется как С/А, так и Р-кодом, частота L2 существует только для передачи Р-кода. Кроме описанных, существует еще и Y-код, представляющий собой зашифрованный Р-код (в военное время система шифровки может меняться).

Период повторения кода довольно велик (например, для P-кода он равен 267 дням). Каждый GPS-приемник имеет собственный генератор, работающий на той же частоте и модулирующий сигнал по тому же закону, что и генератор спутника. Таким образом, по времени задержки между одинаковыми участками кода, принятого со спутника и сгенерированного самостоятельно, можно вычислить время распространения сигнала, а, следовательно, и расстояние до спутника.

Одной из основных технических сложностей описанного выше метода является синхронизация часов на спутнике и в приемнике. Даже мизерная по обычным меркам погрешность может привести к огромной ошибке в определении расстояния. Каждый спутник несет на борту высокоточные атомные часы. Понятно, что устанавливать подобную штуку в каждый приемник невозможно. Поэтому для коррекции ошибок в определении координат из-за погрешностей встроенных в приемник часов используется некоторая избыточность в данных, необходимых для однозначной привязки к местности (подробней об этом чуть позже).

Кроме самих навигационных сигналов, спутник непрерывно передает разного рода служебную информацию. Приемник получает, например, эфемериды (точные данные об орбите спутника), прогноз задержки распространения радиосигнала в ионосфере (так как скорость света меняется при прохождении разных слоев атмосферы), а также сведения о работоспособности спутника (так называемых "альманах", содержащий обновляемые каждые 12,5 минут сведения о состоянии и орбитах всех спутников). Эти данные передаются со скоростью 50 бит/с на частотах L1 или L2.

Основой идеи определения координат GPS-приемника является вычисление расстояния от него до нескольких спутников, расположение которых считается известным (эти данные содержатся в принятом со спутника альманахе). В геодезии метод вычисления положения объекта по измерению его удаленности от точек с заданными координатами называется трилатерацией.

Качественно уменьшить ошибку (до нескольких сантиметров) в измерении координат позволяет режим так называемой дифференциальной коррекции (DGPS - Differential GPS). Дифференциальный режим состоит в использовании двух приемников -один неподвижно находится в точке с известными координатами и называется "базовым", а второй, как и раньше, является мобильным.

Данные, полученные базовым приемником, используются для коррекции информации, собранной передвижным аппаратом. Коррекция может осуществляться как в режиме реального времени, так и при "оффлайновой" обработке данных, например, на компьютере.

Обычно в качестве базового используется профессиональный приемник, принадлежащий какой-либо компании, специализирующейся на оказании услуг навигации или занимающейся геодезией. Например, в феврале 1998 года недалеко от Санкт-Петербурга компания "НавГеоКом" установила первую в России наземную станцию дифференциального GPS.

Мощность передатчика станции - 100 Ватт (частота 298,5 кГц), что позволяет пользоваться DGPS при удалении от станции на расстояния до 300 км по морю и до 150 км по суше. Кроме наземных базовых приемников, для дифференциальной коррекции GPS-данных можно использовать спутниковую систему дифференциального сервиса компании OmniStar. Данные для коррекции передаются с нескольких геостационарных спутников компании.

Принцип триангуляции и GPS

Принцип триангуляция является основным источником неповторимых возможностей системы спутниковой навигации. Принцип работы заключается, как было сказано ранее, в том, что бы измерить время прохождения сигнала от спутника до GPS-приемника, после чего вычисляется расстояния. При условии, что нам известно в какой момент времени сигнал был отправлен со спутника и когда он получен приемником, из разности величин мы легко можем получить промежуток времени за который сигнал прошел расстояние между объектами.

Зная, что скорость распространения сигнала примерно равна скорости света, мы легко можем вычислить путь, умножив полученное нами время на скорость света, т.е. мы вычислим путь пройденный сигналом от спутника до ресивера. Проведя данные вычисления мы получаем первую точку отсчета: размещаем приемник-GPS где-нибудь на поверхности виртуальной сферы с радиусом, сопоставимым его удаленности от спутника. К моменту прихода сигналов от других спутников и их обработки подобным образом, встроенный процессор GPS-приемника легко может вычислить точку, в которой четыре сферы все пересекаются, задавая, таким образом, настоящую долготу, широту и высоту.

Зная основы геометрии мы можем смело утверждать, что три спутника дают точное определение места в пространстве, но как показывает практика система нуждается минимум в четырёх-пяти спутниках, чтобы компенсировать текущую погрешность в часах ресивера. проблема в том, что на GPS–ресивере нет возможности установить атомные часы - самые точный хронометр, для этого мы и используем данные четвертого спутника, чтобы убрать относительное изменение шкалы времени ресивера(приемника). Любой спутник GPS-системы транслирует сигналы навигации на двух частотах: 1575,42 МГц (для лиц гражданских) и 1227,6 МГц (для армии США).

Орбиты, на которых находятся навигационные спутники определены заранее, а GPS-приемники имеют карту, находящуюся в их памяти, на которой указано, где находятся спутники в любой момент времени. Для совершенствования системы, движение и местоположение спутников постоянно координируется и контролируется наземными службами.

Станции слежения просчитывают параметры перемещения спутника и транслируют эти данные обратно на спутник, обновляя данные, которые были занесены в компьютер ранее.

Исходя из всего сказанного, мы можем для себя уяснить, что спутники в любой момент времени предоставляют нам точную информацию о положении их на орбите. Абсолютно все виды ресиверов GPS пользуются этими данными совместно с информацией, заключенной в картах, при помощи чего позволяет установить точное местоположение каждого спутника.

Глобальная Навигационная Спутниковая Система (ГЛОНАСС, 1982-1993г) - это сумма уникальных технологий, плод многолетнего труда российских конструкторов и ученых. Она состоит из 24 спутников, которые, находясь в заданных точках на высоких орбитах, непрерывно излучают в сторону Земли специальные навигационные сигналы.

Любой человек или транспортное средство, оснащенные специальным прибором для приема и обработки этих сигналов, могут с высокой точностью в любой точке Земли и околоземного пространства определить собственные координаты и скорость движения, а также осуществить привязку к точному времени. ГЛОНАСС является государственной системой, которая разрабатывалась как система двойного использования, предназначенная для нужд Министерства обороны и гражданских потребителей. Обязанности по управлению и эксплуатации системы ГЛОНАСС возложены на Министерство обороны Российской Федерации (Космические войска).

Galileo — ответный проект Европы GPS и ГЛОНАССУ. Система, создаваемая в Европе будет решать задачи навигации для движущихся объектов, при этом допуск на погрешность должен составлять менее метра.

Существующие GPS-ресиверы не могут получать и обрабатывать команды от сателлитов системы Galileo, хотя уже заключена договоренность о совместном о совместимости и дополнению друг друга систем Galileo и GPS 3-го поколения. В связи с тем, что финансирование проекта пойдет так же и от реализации лицензий фирмам, которые будут выпускать навигаторы, то разумно ожидать повышение цены на последние.

Кроме стран Европы участвовать в проекте согласились следующие страны — Южная Корея, Россия, Израиль, Украина и Китай. На данный момент идут переговоры с Малайзии, Чили, Австралии, Бразилии, Индии, Аргентины.

Предполагают, что Galileo начнет работу в 2013 году, так как к этому моменту все 30 сателлитов уже должны быть выведены на орбиту. Из них 27 операционных и 3 как резерв. Предприятие Arianespace совершила сделку на десять ракетоносителей типа «Союз», которые должны с 2010 года вывести спутники на орбиту Земли.

Сегмент в космосе будет дополняться наземными модулями, которые состоят из двух центров управления и огромной мировой сетью станций для приема и передачи сигналов.

Отличием Galileo станет то, что он не будет контролироваться государственными структурами. Разрабатывает данные проект - ЕКА. Суммарные расходы на строительство и ввод в эксплуатацию системы оценивают примерно в 4 000 000 000 евро.