Задание 2

Для решений ситуаций, описанных выше и согласованных с преподавателем, создать PERT-диаграммы в среде MS Visual Studio 2003 (2007).

Практика 2: Модель Вольтера – «хищник – жертва» Постановка задачи

Животные-жертвы при отсутствии хищников размножаются с коэффициентом приращения g, а животные-хищники при отсутствии добычи вымирают с коэффициентом s. Благодаря встречам жертв с хищниками (вероятность встреч пропорциональна произведению численностей популяций), количество животных-жертв уменьшается (с коэффициентом а), а количество хищников возрастает (с коэффициентом приращения b). В результате имеем систему дифференциальных уравнений:

где y_х – численность хищников, у_ж – численность животных-жертв.

Решение

Система нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка:

g:= 0.3 Коэффициент приращения численности жертв при отсутствии хищников

s:= 0.3 Коэффициент уменьшения численности хищников при отсутствии жертв

a:= 0.02 Параметр, описывающий уменьшение численности жертв из-за встреч с хищниками

b:= 0.004 Параметр, описывающий приращение численности хищников благодаря встречам с жертвами.

Численное решение системы дифференциальных уравнений:

y_B(0)=100 у_R(0)=40 Начальные популяции жертв и хищников.

Решение системы дифференциальных уравнений при помощи функции rkfixed

Y представляет собой вектор начальных значений (Y₀,Y₁)=(y_B, y_R). При различных начальных значениях мы получим различное поведение системы.

«Для задания вектора в MathCad'е»

Временной интервал для численных расчетов:

N := 4000 Число шагов для численных расчетов

t_a := 0 Начальный момент времени

t_e := 100 Конечный момент времени

Вектор D содержит дифференциальные уравнения:

Z:= rkfixed(Y, t_a, t_e, N-1, D) Применение метода Рунге-Кутта. Решение Z представляет собой матрицу размера N  3. Первый столбец этой матрицы Z^<0> содержит моменты времени, следующие столбцы Z^<1>, Z^<2> содержат значения функций y_B, y_R, соответствующие этим моментам.

t:= Z^<0>

y_B:= Z^<1>

y_R= Z^<2>

Динамика изменения популяций животных жертв и хищников: i:= 0..N-1 – количество точек (узлов) для расчета значений функций, представленных в дифференциальных уравнениях. Фрагмент рабочего листа MathCad с решением при заданных условиях приведен на Рис. 1.

Рис. 1. Решение системы диф. уравнений Вольтерры-Лоттке

Для вывода двух функций (y1 и y2) на график сначала в поле для функции вводится y1, а затем, через «запятую» - y2.

Внешний вид графика представлен на Рис. 2.

Рис. 2. Поведение системы для заданных параметров

Вначале хищники уничтожают много животных-жертв, тем самым, подрывая основу своего существования, что приводит к уменьшению численности самих хищников. В результате уменьшения числа хищников жертвы могут беспрепятственно размножаться. Со временем, благодаря увеличению популяции жертв, появляется больше добычи у хищников, которые, в свою очередь, начинают размножаться, уничтожая больше жертв. Этот спектакль повторяется через равные промежутки времени.