7.3 Приклади задач та їх розв`язання

Задача 7.1. Компанія "Російський сир" - невеликий виробник різних продуктів із сиру на експорт. Один із продуктів - сирна паста - поставляється в країни ближнього зарубіжжя. Генеральний директор повинен вирішити, скільки ящиків сирної пасти варто виробляти протягом місяця. Імовірності того, що попит на сирну пасту протягом місяця буде 6, 7, 8 або 9 ящиків, рівні відповідно 0,1; 0,3; 0,5; 0,1.

Витрати на виробництво однго ящика рівні 45 USD. Компанія продає кожен ящик за ціною 95 USD. Якщо ящик із сирною пастою не продається протягом місяця, то вона псується і компанія не одержує доходу. Скільки ящиків варто виробляти протягом місяця?

Рішення. Користуючись вихідними даними, будуємо матрицю гри. Стратегіями гравця 1 (компанія "Російський сир") є різні показники числа ящиків із сырной пастою, що йому, можливо, варто виробляти. Станами природи виступають величини попиту на аналогічне число ящиків.

Обчислимо, наприклад, показник прибутку, що одержить виробник, якщо він зробить 8 ящиків, а попит буде тільки на 7.

Кожен ящик продається по 95 USD. Компанія продала 7, а зробила 8 ящиків. Отже, виторг буде 7*95, а витрати виробництва 8 ящиків 8*45. Разом, прибуток від зазначеного сполучення попиту та пропозиції буде дорівнює 7*95 – 8*45 = 305 USD. Аналогічно виробляються розрахунки при інших сполученнях попиту та пропозиції.

У підсумку одержимо наступну платіжну матрицю в грі з природою (табл. 7.1). Як бачимо, найбільший середній очікуваний прибуток дорівнює 352,5 USD. Вона відповідає виробництву 8 ящиків.

Таблиця 7.1 – Платіжна матриця гри

Попит на ящики Виробництво ящиків	6 (0.1)*	7 (0.3)	8 (0.5)	9 (0.1)	Середній очікуваний прибуток (USD)
6	300	300	300	300	300
7	255	350	350	350	340,5
8	210	305	400	400	352,5
9	165	260	355	450	317
* У дужках наведена імовірність попиту на ящики.

На практиці, найчастіше, у подібних випадках рішення приймаються, виходячи з критерію максимізації середнього очікуваного прибутку або мінімізації очікуваних витрат. Дотримуючись такого підходу, можна зупинитися на рекомендації робити 8 ящиків, і для більшості ОПР рекомендація була б обґрунтованою.

Однак, залучаючи додаткову інформацію у формі розрахунку середньоквадратичного відхилення як індексу ризику, ми можемо уточнити прийняте на основі максимуму прибутку або мінімуму витрат рішення. Додаткові рекомендації можуть виявитися неоднозначними, залежними від схильності до ризику ОПР.

Проводячи відповідні обчислення дисперсії випадкової величини (Д) та середньоквадратичного відхилення (С) для випадків виробництва 6, 7, 8 і 9 ящиків, одержуємо:

1) 6 ящиків:

Д = 300²* (0,1+0,3+0,5+0,1) - 300² = 0;

С = √ 0 = 0.

2) 7 ящиків:

Д = (0,1*255²+0,9*350²) - 340,5² =812,5;

С = √ 812,5 =28,5.

3) 8 ящиків:

Д = (0,1*210²+0,3*305²+0,6*400²) - 352,5² = 4061,25;

С = √4 061,25 = 63,73.

4) 9 ящиків:

Д = (0,1*165²+0,3*260² + 0,5*355² + 0,1*450²) - 317² = 5776;

С = √5776 = 76.

Висновок. З представлених результатів розрахунків з урахуванням отриманих показників ризиків - середньоквадратичних відхилень - очевидно, що робити 9 ящиків сиру при будь-яких обставинах недоцільно, тому що середній очікуваний прибуток, якій рівен 317 USD, менше, ніж для 8 ящиків (352,5 USD), а середньоквадратичне відхилення (76) для 9 ящиків більше аналогічного показника для 8 ящиків (63,73). А от чи доцільно виробництво 8 ящиків у порівнянні з 7 або 6 - неочевидно, тому що ризик при виробництві 8 ящиків (63,73) більше, ніж при виробництві 7 ящиків (28,5) і тим більше 6 ящиків, де 0. Вся інформація з урахуванням очікуваних прибутків і ризиків у наявності. Рішення повинен приймати генеральний директор компанії "Російський сир" з урахуванням його досвіду, схильності до ризику і ступеня вірогідності показників імовірностей попиту: 0,1; 0,3; 0,5; 0,1. У даному разі, з огляду на всі приведені числові характеристики випадкової величини - прибутку, можна рекомендовати робити 7 ящиків (а не 8, що випливає з максимізації прибутку без обліку ризику!). У завданнях для самостийного виконання студентам пропонується обґрунтувати свій вибір.

Задача 7.2. Керівництво компанії вирішує, що робити з новою продукцією: створити крупне виробництво, мале підприємство або продати патент інший фірмі. Розмір виграша, який комнанія може отримати, залежить від сприятливого або несприятливого стану ринку (див. таб. 7.2).

Таблиця 7.2 – Виграши компанії

Стратегія	Дії компанії	Виграш у USD, за станом економічного середовища*
		сприятливого	несприятливого
1	Будівництво великого підприємства	200000	-180000
2	Будівництво малого підприємства	100000	-20000
3	Продаж патенту	10000	10000

* - імовірність сприятливого або несприятливого стану економічного середовища дорівнює 0,5.

Нехай перед тим, як приймати рішення про будівництво, керівництво компанії повинне визначити, чи замовляти чи ні додаткове дослідження стану ринку, причому ця послуга обійдеться компанії в 10000 USD.

Щодо фірми, який можна замовити прогноз, відомо, що вона здатна уточнити значення імовірностей сприятливого або несприятливого результату. При цьому, коли фірма затверджує, що ринок сприятливий, то з імовірністю 0,78 цей прогноз виправдується (з імовірністю 0,22 можуть виникнути несприятливі умови). Якщо фірма затверджує, що ринок несприятливий, то цей прогноз виправдується з імовірністю 0,73 (з імовірністю 0,27 навпаки можуть виникнути сприятливі умови).

Припустимо, що фірма, який замовили прогноз стану ринку, затверджує:

- ситуація буде сприятливої з імовірністю 0,45;

- ситуація буде несприятливої з імовірністю 0,55.

Необхідно побудувати дерево рішень і визначить: чи варто замовити консультаційній фірмі додаткову інформацію, що уточнює кон'юнктуру ринку; яке найкраще рішення задля компанії; яка очікувана грошова оцінка (ОГО) найкращого рішення; яка очікувана цінність додаткової інформації?

Рішення.

На основі приведених даних побудуємо дерево рішень (див. рис. 7.1).

На рисунку 7.1 позначаються: квадратом рішення, що приймає гравець; квадратом зі знаком «*» - випадкове рішення; знаком "//" - відкинуті рішення.

Дерево будується з ліворуч направоруч, а процедура ухвалення рішення полягає в обчисленні для кожної вершини дерева (при русі з праворуч наліворуч) ОГО, відкиданні непереспективных гілок і виборі гілок, яким відповідає максимальне значення ОГО.

Рис. 7.1 – Дерево рішень

Наприклад, для рішення керівництва компанії "Не проводити обстеження" значения ОГО для вершин визначаються в такий спосіб:

- для гілкі "Велике підприємство" ОГО=0,5*200000+0,5*(-180000)=10000;

- для гілкі "Мале підприємство" ОГО=0,5*100000+0,5*(-20000)=40000;

- для гілкі "Патент" ОГО=10000.

Оскільки найбільше ОГО = 40000 USD має гілка "Мале підприємство" інші гілки відкидаються й ОГО всієї гілкі "Не проводити обстеження" = 40000 USD. Аналогічно визначаються ОГО інших вершин і гілки з меншими ОГО відкидаються.

Висновки. З аналізу дерева рішень випливає:

- необхідно проводити додаткове дослідження ринку, оскільки це може істотно уточнити прийняте рішення (тобто заплатити 10000 USD);

- якщо компанія-консультант прогнозує сприятливу ситуацію на ринкові, то доцільно будувати велике підприємство (очікуваний максимальний прибуток 116400 USD), якщо прогноз несприятливий - мале (очікуваний максимальний прибуток 12400 USD).

Очікувана цінність точної інформації визначається як різниця між очікуваною грошовою оцінкою при наявності точної інформації та без такої.

При відсутності точної інформації максимальна ОГО дорівнює:

ОГО=0,5*100000+0,5*(-20000)=40000 USD;

Якщо точна інформація про істиний стан ринку буде сприятливою (ОГО=200000 USD, див. табл. 7.2), приймається рішення будувати велике виробництво, якщо несприятливою, то найбільш раціональне рішення - продаж патенту (ОГО=10000 USD). З огляду на, що імовірності сприятливої і несприятливої ситуації рівні 0,5, значення ОГО т.і. (ОГО точної інформації) визначається вираженням:

ОГОт.і.=0,5*200000+0,5*10000)=105000 USD;

Тоді очікувана цінність точної інформації дорівнює:

ОЦт.і.=ОГО-ОГОт.і.=105000-40000=65000 USD.