1.3.3 Приклад задачі та її розв`язання.
Задача 1.5. Нехай K={K1, K2, K3, K4} - множина критеріїв, K1={k11, k12} - шкала першого критерію, K2={k21, k22} - шкала другого критерію, K3={k31, k32} - шкала третього критерію, K4={k41, k42} - шкала четвертого критерію. Побудувати граф домінування на множині K1хK2хK3хK4. Указати кількість усіх гіпотетично можливих альтернатив, найкращу і найгіршу альтернативу.
Розглянемо альтернативу (k11, k22, k31, k42): які альтернативи краще, гірше і непорівнянні з нею?
Рішення. Граф домінування показаний на рис. 1.4.
Рисунок 1.4 - Чотиривимірний граф домінування
"Розгорнення" цього графа на площину показані на рис. 1.5.
Рисунок 1.5 - "Розгорнення" чотиривимірного графа домінування
Кількість усіх гіпотетично можливих альтернатив: 2х2х2х2=16. (k11, k21, k31, k41) - найкраща альтернатива, (k12, k22, k32, k42) - найгірша альтернатива.
Щоб відповісти на інші питання, побудуємо табл. 1.3. У цій таблиці всі альтернативи зазначені в лексикографічному порядку від найкращої до найгіршої.
Таблиця 1.3 - Всі альтернативи для чотирьох критеріїв
Критерій К1 |
Критерій К2 |
Критерій К3 |
Критерій К4 |
k11 |
k21 |
k31 |
k41 |
k11 |
k21 |
k31 |
k42 |
k11 |
k21 |
k32 |
k41 |
k11 |
k21 |
k32 |
k42 |
k11 |
k22 |
k31 |
k41 |
k11 |
k22 |
k31 |
k42 |
k11 |
k22 |
k32 |
k41 |
k11 |
k22 |
k32 |
k42 |
k12 |
k21 |
k31 |
k41 |
k12 |
k21 |
k31 |
k42 |
k12 |
k21 |
k32 |
k41 |
k12 |
k21 |
k32 |
k42 |
k12 |
k22 |
k31 |
k41 |
k12 |
k22 |
k31 |
k42 |
k12 |
k22 |
k32 |
k41 |
k12 |
k22 |
k32 |
k42 |
Відзначимо напівжирним курсивом рядок, що представляє розглянуту альтернативу (k11, k22, k31, k42). Потім розглянемо в першому стовпці тільки що відзначене напівжирним курсивом значення k11. Вище цього значення знайдемо всі значення, що не гірше заданого. Відзначимо їх підкресленням. Потім розглянемо в другому стовпці відзначене напівжирним курсивом значення k22. Вище цього значення знайдемо всі значення, що не гірше заданого. Теж відзначимо їх підкресленням. Потім розглянемо в третьому стовпці відзначене напівжирним курсивом значення k31. Вище цього значення знайдемо всі значення, що не гірше заданого. Також відзначимо їх підкресленням. Нарешті, розглянемо в четвертому стовпці відзначене напівжирним курсивом значення k42. Вище цього значення знайдемо всі значення, що не гірше заданого. И також відзначимо їх підкресленням. Тепер розглянемо всі рядки, цілком відзначені підкресленням. Вони і представляють всі альтернативи, які є кращі, чим (k11, k22, k31, k42).
Таким чином, {(k11, k21, k31, k41), (k11, k21, k31, k42), (k11, k22, k31, k41)} - множина альтернатив, які є кращі, чим (k11, k22, k31, k42).
Снову розглянемо в першому стовпці відзначене напівжирним курсивом значення k11. Нижче цього значення знайдемо всі значення, що не краще заданого. Відзначимо їх курсивом. Потім розглянемо в другому стовпці відзначене напівжирним курсивом значення k22. Нижче цього значення знайдемо всі значення, що не краще заданого. Теж відзначимо їх курсивом. Потім розглянемо в третьому стовпці відзначене напівжирним курсивом значення k31. Нижче цього значення знайдемо всі значення, що не краще заданого. Також відзначимо їх курсивом. Нарешті, розглянемо в четвертому стовпці відзначене напівжирним курсивом значення k42. Нижче цього значення знайдемо всі значення, що не краще заданого. И також відзначимо їх курсивом. Тепер розглянемо всі рядки, цілком відзначені курсивом. Вони і представляють всі альтернативи, які є гірші, чим (k11, k22, k31, k42).
Таким чином, {(k11, k22, k32, k42), (k12, k22, k31, k42), (k12, k22, k32, k42)} - множина альтернатив, які є гірші, чим (k11, k22, k31, k42).
Всі інші рядки, у яких хоча б одне поле не відзначене курсивом, представляють всі альтернативи, які є непорівняні з (k11, k22, k31, k42).
Таким чином, {(k11, k21, k32, k41), (k11, k21, k32, k42), (k11, k22, k32, k41), (k12, k21, k31, k41), (k12, k21, k31, k42), (k12, k21, k32, k41), (k12, k21, k32, k42), (k12, k22, k31, k41), (k12, k22, k32, k41)} - множина альтернатив, які є непорівняні з (k11, k22, k31, k42).
1.3.4 Задачи для розв`язання
Задача 1.6. Задача на оцінку «добре». Нехай K={K1, K2, K3, K4} - множина критеріїв, K1={k11, ..., k1p} - шкала першого критерію, K2={k21, ..., k2q} - шкала другого критерію, K3={k31, ..., k3r} - шкала третього критерію, K4={k31, ..., k3s} - шкала четвертого критерію. Указати кількість усіх гіпотетично можливих альтернатив, найкращу і найгіршу альтернативу.
Розглянемо альтернативу (k1w, k2x, k3y, k4z): які альтернативи краще, гірше і непорівнянні з нею?
а) p=2, q=2, r=3, s=4, w=1, x=1, y=2, z=3;
б) p=2, q=3, r=2, s=4, w=1, x=1, y=2, z=3;
в) p=4, q=3, r=2, s=2, w=1, x=1, y=2, z=2.
Задача 1.7. Задача на оцінку «відмінно». Нехай K={K1, K2, K3, K4, K5} - множина критеріїв, K1={k11, ..., k1p} - шкала першого критерію, K2={k21, ..., k2q} - шкала другого критерію, K3={k31, ..., k3r} - шкала третього критерію, K4={k31, ..., k3s} - шкала четвертого критерію, K5={k31, ..., k3t} - шкала п'ятого критерію. Указати кількість усіх гіпотетично можливих альтернатив, найкращу і найгіршу альтернативу.
Розглянемо альтернативу (k1v, k2w, k3x, k4y, k5z): які альтернативи краще, гірше і непорівнянні з нею?
а) p=1, q=2, r=3, s=2, t=3, v= 1, w=2, x=1, y=2, z=1;
б) p=2, q=1, r=3, s=3, t=2, v= 1, w=1, x=2, y=2, z=1;
в) p=2, q=2, r=1, s=3, t=3, v= 2, w=1, x=1, y=1, z=3.