1.3.5 Контрольні питання і завдання.

Дайте визначення наступних ключових понять:

- прийняття рішень; ОПР;

- ролі людей у процесах прийняття рішень; активні групи; індивідуальний вибір;

- альтернативи; критерії; шкали критеріїв; процес прийняття рішень, його етапи;

- домінуючі і домінуємі альтернативи; множина Эджворта-Парето;

- типові задачі прийняття рішень.

2. Порядкова класифікація альтернатив

2.1 Ціль роботи

Мета заняття - детальний розгляд методів рішення задач порядкової класифікації альтернатив при двох класах і формування уміння і навичок їхнього практичного використання.

2.2. Методичні вказівки по організації самостійної роботи студентів.

Рекомендується використовувати наступні літературні джерела.

Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений, а также Хроника событий в Волшебных Странах: Учебник. – М.: Логос, 2000. – 296 с. Особливу увагу варто звернути на Лекцію 9 «Вербальный анализ решений» (С. 244-254).

Ларичев О.И., Мошкович Е.М. Качественные методы принятия решений. Вербальный анализ решений. – М.: Наука. Физматлит, 1996. – 208 с.Особливу увагу варто звернути на Главу 6 «Метод оркласс для решения задач порядковой классификации» (С. 158-198).

Розен В.В. Цель – оптимальность – решение (математические модели принятия оптимальных решений). – М.: Радио и связь, 1982. – 168 с. Особливу увагу варто звернути на Главу 4 «Принятие решений при задании предпочтений в форме отношений» (С. 69-97).

2.3 Приклад задачі та її розв`язання.

Задача 2.1. Нехай K={K1, K2} - множина критеріїв, K1={k11, k12, k13} - шкала першого критерію, K2={k21, k22, k23} - шкала другого критерію.

Описати процедуру опитування ОПР, якщо вона закінчилася результатом, представленим у табл. 2.1.

Таблиця 2.1 - Розбивка по двох критеріях на класи Y1 і Y2

	k11	k12	k13
k21	Y1	Y1	Y2
k22	Y1	Y1	Y2
k23	Y1	Y1	Y2

Рішення. Перший крок процедури опитування ОПР представлений у табл. 2.2.

Таблиця 2.2 - Розбивка по двох критеріях на два класи. Крок 1

K1	K2	G	d1	d2	p1	p2	g1	g2	F1	F2	F
1	1	1	0	4	1	0	0	0	0	0	0
1	2	1, 2	1	3	0,75	0,25	0	4	0	1	1
1	3	1, 2	2	2	0,5	0,5	1	1	0,5	0,5	1
2	1	1, 2	1	3	0,75	0,25	0	4	0	1	1
2	2	1, 2	2	2	0,5	0,5	2	2	1	1	2
2	3	1, 2	3	1	0,25	0,75	4	0	1	0	1
3	1	1, 2	2	2	0,5	0,5	1	1	0,5	0,5	1
3	2	1, 2	3	1	0,25	0,75	4	0	1	0	1
3	3	2	4	0	0	1	0	0	0	0	0

Розглянемо процес створення цієї таблиці.

У стовпцях К1 і К2 описані всі альтернативи в лексикографічному порядку від найкращої до найгіршої. При цьому вказується тільки номер значення на шкалі критерію. Наприклад, замість к13 у стовпці К1 зазначається 3, а замість к21 у стовпці К2 указується 1.

У стовпці G міститься множина номерів класів, припустимих для даної альтернативи. Очевидно, найкраща альтернатива (1,1) повинна належати класові Y1, а найгірша (3,3) - класові Y2. Для всіх інших альтернатив до початку опитування немає інформації про переваги ОПР, тому для них припустимі всі класи.

Далі буде використовуватися таке поняття, як центр класу Ym. Це такий вектор Cm=(Cm1, Cm2), що є середнім арифметичним векторів, що належать даному класові. Так як до початку опитування в обох класах утримується тільки по одному векторі, то вектор (1, 1) є центром Y1, а (3, 3) - центр Y2.

У стовпці d1 міститься відстань від даної альтернативи до центра класу Y1. Воно дорівнює сумі модулів разностей відповідних векторів. Наприклад, відстань від альтернативи (2,3) до вектора (1,1) - центра класу Y1 обчислюється за формулой (2.1):

| 2 - 1 | + | 3 - 1 | = 1 + 2 = 3. (2.1)

Аналогічним образом обчислюється відстань від даної альтернативи до центра класу Y2, що міститься у стовпці d2. Наприклад, відстань від альтернативи (2,1) до вектора (3,3) - центри класу Y2 обчислюється за формулой (2.2):

| 2 - 3 | + | 1 - 3 | = 1 + 2 = 3. (2.2)

Очевидно, що серед усіх пар альтернатив найбільша відстань D = 4 між найкращою альтернативою і найгіршою альтернативою.

У стовпці р1 міститься міра близькості альтернативи до класу Y1. Очевидно, міра близькості альтернативи, що належить до цього класу, повинна дорівнювати 1, а не приналежної - 0. Для всіх інших альтернатив ця міра обчислюється по формулі (2.3):

p1 = (D - d1) / (D - d1 + D - d2) = (4 - d1) / (8 - d1 - d2). (2.3)

Наприклад, міра близькості альтернативи (2, 3) до класу Y1 згідно формули (2.3) буде:

(4 - d1) / (8 - d1 - d2) = (4 - 3) / (8 - 3 - 1) = 1/4 = 0,25.

Аналогічним образом обчислюється міра близькості альтернативи до класу Y2, що міститься в стовпці р2 (див. формулу (2.4)):

p2 = (D - d2) / (D - d1 + D - d2) = (4 - d2) / (8 - d1 - d2). (2.4)

Наприклад, міра близькості альтернативи (2, 3) до класу Y2 згідно формули (2.4) буде:

(4 - d2) / (8 - d1 - d2) = (4 - 1) / (8 - 3 - 1) = 3/4 = 0,75.

Очевидно, що 0p11, 0 p21 і р1+р2 =1. Міра близькості альтернативи до визначеного класу тим більше, чим менше відстань між альтернативою і відповідним класом (тобто вважається, що в цьому випадку більше імовірність того, що альтернатива буде віднесена до цього класу).

У стовпці g1 міститься кількість додаткової інформації, що стає відомой, якщо ОПР віднесе альтернативу до класу Y1. Наприклад, якщо ОПР віднесе альтернативу (2,2) до класу Y1, те всі кращі альтернативи, мабуть, не потраплять у гірший клас Y2. Але, тому що в нас всего два класи, то з цього випливає, що кращі альтернативи, мабуть, потраплять у клас Y1. Кращими, чим альтернатива (2,2), є альтернативи (1,1), (1,2) і (2,1). (Методика знаходження кращих альтернатив вивчалася в темі 1 "Інформаційна підготовка до прийняття рішень".) Те, що альтернатива (1,1) належить класові Y1, було відоме і раніш. Тому новою ця інформація буде тільки для альтернатив (1,2) і (2,1). Таким чином, кількість додаткової інформації, що стає відомой, якщо ОПР віднесе альтернативу (2, 2) до класу Y1, дорівнює 2.

У стовпці g2 міститься кількість додаткової інформації, що стає відомой, якщо ОПР віднесе альтернативу до класу Y2. Наприклад, якщо ОПР віднесе альтернативу (2,2) до класу Y2, те всі гірші альтернативи, мабуть, не потраплять у кращий клас Y1. Гіршими, чим альтернатива (2, 2), є альтернативи (2,3), (3,2) і (3,3). (Методика знаходження гірших альтернатив вивчалася в темі 1 "Інформаційна підготовка до прийняття рішень".) Те, що альтернатива (3,3) належить класові Y2, було відоме і раніш. Тому новою ця інформація буде тільки для альтернатив (2,3) і (3,2). Таким чином, кількість додаткової інформації, що стає відомой, якщо ОПР віднесе альтернативу (2,2) до класу Y2, дорівнює 2.

У стовпці F1 міститься інформативність альтернативи щодо класу Y1. Ця інформативність обчислюється за формулою (2.5):

F1 = p1 х g1. (2.5)

Аналогічно обчислюється інформативність альтернативи щодо класу Y2, що міститься в стовпці F2 (див. формулу (2.6)):

F2 = p2 х g2. (2.6)

У стовпці F міститься інформативність альтернативи. Ця інформативність обчислюється по за формулою (2.7):

F = F1 + F2. (2.7)

Таким чином, (2,2) - сама інформативна альтернатива. Вона пред'являється ОПР для віднесення до одного з класів. Згідно табл. 2.1 ОПР віднесла альтернативу (2,2) до класу Y1. Тоді кращі альтернативи (1,2) і (2,1) теж повинні бути віднесені до класу Y1. Другий крок процедури опитування ОПР представлений у табл. 2.3.

Таблиця 2.3 - Розбивка по двох критеріях на два класи. Крок 2

K1	K2	G	d1	d2	p1	p2	g1	g2	F1	F2	F
1	1	1	1	4	1	0	0	0	0	0	0
1	2	1	1	3	1	0	0	0	0	0	0
1	3	1, 2	2	2	0,5	0,5	0	1	0	0,5	0,5
2	1	1	1	3	1	0	0	0	0	0	0
2	2	1	1	2	1	0	0	0	0	0	0
2	3	1, 2	2	1	0,4	0,6	1	0	0,4	0	0,4
3	1	1, 2	2	2	0,5	0,5	0	1	0	0,5	0,5
3	2	1, 2	2	1	0,4	0,6	1	0	0,4	0	0,4
3	3	2	3	0	0	1	0	0	0	0	0

Тому, що клас Y1 поповнився трьома новими альтернативами, необхідно перерахувати координати центра C1=(C11, C12) цього классу (формули (2.8)-(2.9)):

C11 = (1 + 1 + 2 + 2) / 4 = 6/4 = 1,5; (2.8)

C12 = (1 + 2 + 1 + 2) / 4 = 6/4 = 1,5. (2.9)

Відповідно зміниться відстань d1, міра p1 і міра p2.

Необхідно також перерахувати кількість додаткової інформації g1 і g2. Для альтернатив, які вже класифіковані, ця кількість дорівнює 0. Для всіх інших альтернатив необхідно перерахувати кількість додаткової інформації g1.

Відповідно зміняться інформативності F1, F2 і F.

Отже, (1,3) і (3,1) - самі інформативні альтернативи. Випадковим образом вибираємо одну з них. Нехай це буде альтернатива (1,3). Вона пред'являється ОПР для віднесення до одного з класів. Згідно табл. 2.1 ОПР віднесла альтернативу (1,3) до класу Y2. Тоді і гірша альтернатива (2,3) теж повинна бути віднесена до класу Y2. Третій крок процедури опитування ОПР представлений у табл. 2.4.

Таблиця 2.4 - Розбивка по двох критеріях на два класи. Крок 3

K1	K2	G	d1	d2	p1	p2	g1	g2	F1	F2	F
1	1	1	1	3	1	0	0	0	0	0	0
1	2	1	1	2	1	0	0	0	0	0	0
1	3	2	2	1	0	1	0	0	0	0	0
2	1	1	1	2	1	0	0	0	0	0	0
2	2	1	1	1	1	0	0	0	0	0	0
2	3	2	2	0	0	1	0	0	0	0	0
3	1	1, 2	2	3	2/3	1/3	0	1	0	1/3	1/3
3	2	1, 2	2	2	0,5	0,5	1	0	0,5	0	0,5
3	3	2	3	1	0	1	0	0	0	0	0

Тому, що клас Y2 поповнився двома новими альтернативами, необхідно перерахувати координати центра C2=(C21, C22) цьогоього классу (формули (2.10)-(2.11)):

C21 = (1 + 2 + 3) / 3 = 6/3 = 2; (2.10)

C22 = (3 + 3 + 3) / 3 = 9/3 = 3. (2.11)

Відповідно зміниться відстань d2, міра p1 і міра p2.

Необхідно також перерахувати кількість додаткової інформації g1 і g2. Для альтернатив, які вже класифіковані, ця кількість дорівнює 0. Для всіх інших альтернатив необхідно перерахувати кількість додаткової інформації g2.

Відповідно зміняться інформативності F1, F2 і F.

Таким чином, (3,2) - сама інформативна альтернатива. Вона пред'являється ОПР для віднесення до одного з класів. Згідно табл. 2.1 ОПР віднесла альтернативу (3, 2) до класу Y1. Тоді і краща альтернатива (3,1) теж повинна бути віднесена до класу Y1.

Всі альтернативи класифікованы.

2.4 Задачи для розв`язання

Задача 2.2. Нехай K={K1, K2} - множина критеріїв, K1={k11, k12, k13} - шкала першого критерію, K2={k21, k22, k23} - шкала другого критерію.

Описати процедуру опитування ОПР, якщо вона закінчилася результатом, представленим у табл. 2.5.

Таблиця 2.5 - Класифікація альтернатив. Варіант 1

	k11	k12	k13
k21	Y1	Y2	Y2
k22	Y1	Y2	Y2
k23	Y1	Y2	Y2

Задача 2.3. Нехай K={K1, K2} - множина критеріїв, K1={k11, k12, k13} - шкала першого критерію, K2={k21, k22, k23} - шкала другого критерію.

Описати процедуру опитування ОПР, якщо вона закінчилася результатом, представленим у табл. 2.6.

Таблиця 2.6 - Класифікація альтернатив. Варіант 2

	k11	k12	k13
k21	Y1	Y1	Y1
k22	Y1	Y2	Y2
k23	Y1	Y2	Y2

Задача 2.4. Нехай K={K1, K2} - множина критеріїв, K1={k11, k12, k13} - шкала першого критерію, K2={k21, k22, k23} - шкала другого критерію.

Описати процедуру опитування ОПР, якщо вона закінчилася результатом, представленим у табл. 2.7.

Таблиця 2.7 - Класифікація альтернатив. Варіант 3

	k11	k12	k13
k21	Y1	Y1	Y2
k22	Y1	Y1	Y2
k23	Y2	Y2	Y2

2.5 Контрольні питання і завдання.

Дайте визначення наступних ключових понять:

• центр непорожнього класу;

• відстань від альтернативи до центра класу;

• міра близькості альтернативи до класу;

• інформативність альтернативи.

3. УПОРЯДКУВАННЯ БАГАТОКРИТЕРІАЛЬНИХ АЛЬТЕРНАТИВ

3.1 Ціль роботи

Мета заняття - детальний розгляд методів рішення задачі упорядкування багатокритеріальних альтернатив і формування уміння і навичок їхнього практичного використання.

3.2 Методичні вказівки по організації самостійної роботи студентів.

Рекомендується використовувати наступні літературні джерела.

Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений, а также Хроника событий в Волшебных Странах: Учебник. – М.: Логос, 2000. – 296 с. Особливу увагу варто звернути на Лекцію 9 "Вербальний анализ решений" (С. 255-272).

Ларичев О.И., Мошкович Е.М. Качественные методы принятия решений. Вербальный анализ решений. – М.: Наука. Физматлит, 1996. – 208 с. Особливу увагу варто звернути на Главу 4 "Метод ЗАПРОС-ЛМ для упорядочивания многокритериальных альтернатив" (С. 81-131).

Розен В.В. Цель – оптимальность – решение (математические модели принятия оптимальных решений). – М.: Радио и связь, 1982. – 168 с. Особливу увагу варто звернути на Главу 4 "Принятие решений при задании преимуществ в форме отношений" (С. 88-97).