Середній рівень =

88,81 Тис.Грош.Од.

12

2-й рік

3-й рік

1-й рік

Рис. 1. Динаміка місячних змін середньоденного товарообороту протягом 1-3-го років:

ряд 1 – фактична; ряд 2 – теоретична, отримана методом рядів Фур’є

(по першій гармоніці); ряд 3 – теоретична, отримана методом рядів Фур’є

(по першій-третій гармоніках)

2) Методом постійного середнього побудуємо сезонну хвилю середньоденного товарообороту протягом умовного року, для чого визначимо місячні значення середнього індексу сезонності. Середній індекс сезонності умовного місяця обчислюється по відповідних місячних значеннях індексів сезонності усіх трьох років. Індекси сезонності визначаються як співвідношення відповідних фактичних значень рівня ряду динаміки (з таблиці) і середнього значення рівня. Для зручності результати проміжних розрахунків зведемо в розрахункову таблицю.

Розрахункова таблиця

i	yij
	j = 1	j = 2	j = 3
1	2	3	4	5	6	7
1	83,40	87,80	80,10	251,30	83,766667	94,325931
2	84,30	88,40	81,50	254,20	84,733333	95,414451
3	85,90	88,50	89,40	263,80	87,933333	99,017829
4	86,10	90,40	88,60	265,10	88,366667	99,505787
5	79,30	78,20	82,20	239,70	79,900000	89,971849
6	107,90	113,40	115,00	336,30	112,100000	126,23084
7	106,00	97,40	105,80	309,20	103,066667	116,05880
8	86,30	80,00	87,60	253,90	84,633333	95,301845
9	90,70	90,90	83,90	265,50	88,500000	99,655927
10	81,70	83,20	85,40	250,30	83,433333	93,950579
11	78,10	78,80	81,30	238,20	79,400000	89,408821
12	88,30	89,00	92,20	269,50	89,833333	101,157335
Σ	1058,00	1066,00	1073,00	3197,00	1065,666667	1200,000000
У середньому за рік	88,17	88,83	89,42	= 88,805556	= 88,805556	= 100,000000

В графі 1 розрахункової таблиці місяці кожного року пронумеруємо від 1 до 12 й відповідно до кожного з них у наступних графах представимо помісячно таку інформацію: в графи 2-4 перенесемо початкові дані про товарооборот; в графі 5 обчислимо за наведеною формулою сумарні значення товарообороту за три роки; в графі 6 – середні значення товарообороту за три роки; в графі 7 – значення середніх індексів сезонності (в процентах), як співвідношення відповідних даних графи 6 і середнього рівня ряду з підсумкової комірки останньої. У підсумковій комірці графи 7 виконаємо перевірку щодо виконання тотожності: середнє арифметичне середніх індексів сезонності повинно дорівнювати 100 % (виконується).

Побудуємо сезонну хвилю (рис. 2 і рис.3 нижче).

Висновок: У даному ряду кожного року відбуваються сезонні коливання місячних значень середньоденного товарообороту галузі порівняно з його середньорічним значенням: з січня по квітень включно він залишається у середньому нижчим за середньорічне значення, але «відставання» поступово скорочується з 5,67 % (94,33 – 100) до 0,41 % (99,59 – 100); в травні – різко зменшується та «відстає» від середнього на 10,03 % (89,97 – 100); в червні –

різко збільшується та «випереджає» середнє на 26,23 % (126,23 – 100); протягом липня ця тенденція зберігається, але на трошки нижчому рівні 116,06 % (116,06 – 100); з серпня по листопад включно товарооборот знов є нижчим за середньорічне його значення відповідно на 4,70 % (95,30 – 100), 0,34 % (99,66 – 100), 6,05 % (93,95 – 100), 10,59 % (89,41 – 100); і лише к завершенню року він на 1,16 % (101,16 – 100) «випереджає» середнє.

Рис. 2. Модель сезонної хвилі (лінійна діаграма) щомісячного середньоденного

товарообороту галузі протягом умовного року, побудована: ряд 1 –

методом постійного середнього, ряд 2 – методом змінного середнього

Рис. 3. Модель сезонної хвилі

(радіальна діаграма)

щомісячного середньо-

денного товарообороту

галузі протягом умовного

року, побудована методом

постійного середнього

Застосування методу постійного середнього в умовах даної задачі є виправданим, тому що інтенсивність змін середньорічних значень товарообороту є майже непомітною: середньорічний темп приросту становить 0,17 % (по результатах розрахунків в нижньому рядку розрахункової таблиці маємо: ≈ 100,71 (%), = 100,71 – 100 = 0,71 (%)).

Метод рядів Фур’є.

Задача №28. Завдання. За умов задачі №27 побудувати математичну модель внутрішньорічної динаміки середньоденного товарообороту галузі, скориставшись методом рядів Фур’є, а потім методом змінного середнього – сезонну хвилю (результати подати таблицею та графічно на рис. 1 і 2 в задачі №27). Зробити висновки.

Розв’язок. Дана задача зводиться до визначення теоретичних значень рівня ряду динаміки по перших гармоніках ряду Фур’є та їх подальшого використання у визначенні середнього індексу сезонності методом змінного середнього.

1) Побудуємо модель внутрішньорічної динаміки.

Для зручності результати проміжних розрахунків зведемо в розрахункову таблицю №1.

Розрахункова таблиця №1

i	ti = і × × π/6	yi	costi	sinti	yi ∙ costi	yi ∙ sinti	yti
1	2	3	4	5	6	7	8
1	π/6	83,40	1,000000	0,000000	83,400000	0,000000	82,30051726
2	2π/6	84,30	0,866025	0,500000	73,005942	42,150000	84,51027144
3	3π/6	85,90	0,500000	0,866025	42,950000	74,391582	87,87094353
4	4π/6	86,10	0,000000	1,000000	0,000000	86,100000	91,48204416
5	5π/6	79,30	-0,500000	0,866025	-39,650000	68,675815	94,37598183
6	6π/6	107,90	-0,866025	0,500000	-93,444141	53,950000	95,77732828
7	7π/6	106,00	-1,000000	0,000000	-106,000000	0,000000	95,31059385
8	8π/6	86,30	-0,866025	-0,500000	-74,737992	-43,150000	93,10083967
9	9π/6	90,70	-0,500000	-0,866025	-45,350000	-78,548504	89,74016758
10	10π/6	81,70	0,000000	-1,000000	0,000000	-81,700000	86,12906695
11	11π/6	78,10	0,500000	-0,866025	39,050000	-67,636584	83,23512928
12	12π/6	88,30	0,866025	-0,500000	76,470043	-44,150000	81,83378283
13	13π/6	87,80	1,000000	0,000000	87,800000	0,000000	82,30051726
14	14π/6	88,40	0,866025	0,500000	76,556646	44,200000	84,51027144
15	15π/6	88,50	0,500000	0,866025	44,250000	76,643248	87,87094353
16	16π/6	90,40	0,000000	1,000000	0,000000	90,400000	91,48204416
17	17π/6	78,20	-0,500000	0,866025	-39,100000	67,723187	94,37598183
18	18π/6	113,40	-0,866025	0,500000	-98,207281	56,700000	95,77732828
19	19π/6	97,40	-1,000000	0,000000	-97,400000	0,000000	95,31059385
20	20π/6	80,00	-0,866025	-0,500000	-69,282032	-40,000000	93,10083967
21	21π/6	90,90	-0,500000	-0,866025	-45,450000	-78,721709	89,74016758
22	22π/6	83,20	0,000000	-1,000000	0,000000	-83,200000	86,12906695
23	23π/6	78,80	0,500000	-0,866025	39,400000	-68,242802	83,23512928
24	24π/6	89,00	0,866025	-0,500000	77,076261	-44,500000	81,83378283
25	25π/6	80,10	1,000000	0,000000	80,100000	0,000000	82,30051726
26	26π/6	81,50	0,866025	0,500000	70,581070	40,750000	84,51027144
27	27π/6	89,40	0,500000	0,866025	44,700000	77,422671	87,87094353
28	28π/6	88,60	0,000000	1,000000	0,000000	88,600000	91,48204416
29	29π/6	82,20	-0,500000	0,866025	-41,100000	71,187288	94,37598183
30	30π/6	115,00	-0,866025	0,500000	-99,592921	57,500000	95,77732828
31	31π/6	105,80	-1,000000	0,000000	-105,800000	0,000000	95,31059385
32	32π/6	87,60	-0,866025	-0,500000	-75,863825	-43,800000	93,10083967
33	33π/6	83,90	-0,500000	-0,866025	-41,950000	-72,659531	89,74016758
34	34π/6	85,40	0,000000	-1,000000	0,000000	-85,400000	86,12906695
35	35π/6	81,30	0,500000	-0,866025	40,650000	-70,407865	83,23512928
36	36π/6	92,20	0,866025	-0,500000	79,847542	-46,100000	81,83378283
Σ	x	3197,00	0,000000	0,000000	-117,090689	48,176795	3197,000000

Нумерацію місяців трьох послідовних років представимо наскрізною від 1 до 36 (графа 1), час t_i – таким (значення в графі 2), що набуває значень, кратних π/6 (1/12-ій року як 1/12-ій одного обороту повного кола). Розкладення функції Y_t на ортогональні складові sin і cos стає можливим через визначення відповідних значень sint_i (значення в графі 5) cost_i (значення в графі 4) і множенням їх на фактичні значення y_i (значення в графі 3) рівня ряду.

Отже, коефіцієнти Фур’є становлять (7.41, 7.42):

а₀ = 3197 : 36 ≈ 88,805556 (тис.грош.од.);

а₁ = 2 ∙ (-117,090689) : 36 ≈ -6,505038 (тис.грош.од.);

b₁ = 2 ∙ (48,176795) : 36 ≈ 2,676489 (тис.грош.од.).

Остаточно, ряд Фур’є має вид (7.40):

Y_t = 88,805556 – 6,505038 ∙ cost + 2,676489 ∙ sint.

Їх підстановка в остаточне рівняння теоретичної моделі дає такі результати (значення в графі 8):

y_tсіч. = 88,805556 – 6,505038 ∙ 1,0 + 2,676489 ∙ 0,0 ≈ 82,30051726 (тис.грош.од.);

y_tлют. = 88,805556 – 6,505038 ∙ 0,866025 + 2,676489 ∙ 0,5 ≈

≈ 82,30051726 (тис.грош.од.);

…

y_tгруд. = 88,805556 – 6,505038 ∙ 0,866025 + 2,676489 ∙ (-0,5) ≈

≈ 82,30051726 (тис.грош.од.).

Сума фактичних і теоретичних значень рівня ряду має бути однаковою: дійсно 3197 = 3197. Враховуючи періодичність функцій sin і cos, у другому і третьому році Y_t набуває таких же самих значень.

Побудуємо теоретичний ряд динаміки (ряд 2 на рис. 1 в задачі №27).

2) Визначимо значення середнього індексу сезонності аналогічно задачі №24, але в якості теоретичних рівнів візьмемо значення, отримані в попередньому пункті задачі методом рядів Фур’є.

Для зручності результати проміжних розрахунків зведемо в розрахункову таблицю №2.

Розрахункова таблиця №2

i	yij					yti (по першій гармоніці)		yti (по першій-третій гармоніках)
	j = 1	j = 2	j = 3
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	83,40	87,80	80,10	251,30	83,766667	82,300517	101,78146	84,731073
2	84,30	88,40	81,50	254,20	84,733333	84,510271	100,26395	88,221383
3	85,90	88,50	89,40	263,80	87,933333	87,870944	100,07100	86,245944
4	86,10	90,40	88,60	265,10	88,366667	91,482044	96,594548	83,107044
5	79,30	78,20	82,20	239,70	79,900000	94,375982	84,661370	90,531537
6	107,90	113,40	115,00	336,30	112,100000	95,777328	117,04231	103,346773

Продовження розрахункової таблиця №2

1	2	3	4	5	6	7	8	9
7	106,00	97,40	105,80	309,20	103,066667	95,310594	108,13768	103,818927
8	86,30	80,00	87,60	253,90	84,633333	93,100840	90,905016	91,000840
9	90,70	90,90	83,90	265,50	88,500000	89,740168	98,618046	82,037390
10	81,70	83,20	85,40	250,30	83,433333	86,1290675	96,870123	83,565178
11	78,10	78,80	81,30	238,20	79,400000	83,235129	95,392415	85,468463
12	88,30	89,00	92,20	269,50	89,833333	81,833783	109,77536	83,592116
Σ	88,17	88,83	89,42	3197,00	х	1065,666667	Середнє = 100,00944	1065,666667

В графи 2-4 перенесемо фактичні значення рівня ряду динаміки, в графу 7 – теоретичні значення з графи 8 розрахункової таблиці №1; в графі 5 обчислимо за наведеною формулою сумарні значення товарообороту за три роки, в графі 6 – середні значення товарообороту за три роки, в графі 8 – значення середніх індексів сезонності (в процентах) як співвідношення відповідних даних графи 6 і графи 7. У підсумковій комірці графи 8 виконаємо перевірку щодо виконання тотожності: середнє арифметичне середніх індексів сезонності повинно дорівнювати 100 % (виконується; незначна відмінність від 0 у третьому і т.д. розрядах пояснюється округленням результатів проміжних розрахунків).

Побудуємо сезонну хвилю (ряд 2 на рис. 2 в задачі №27).

Висновки:

1) Теоретично внутрішньорічну динаміку щомісячного середньоденного товарообороту галузі, який змінюється від мінімального його значення 78,10 тис.грош.од. в листопаді 1-го року до максимального його значення 115 тис.грош.од. в червні 3-го року, можна представити рядом Фур’є – гармонічною функцією Y_t = 88,805556 – 6,505038 ∙ cost + 2,676489 ∙ sint з ортогональними складовими sin і cos, яка осереднює сезонні коливання ряду динаміки в межах від 81,83378 тис.грош.од. в грудні умовного року до 95,77733 тис.грош.од. в червні умовного року з амплітудою в 6,97177 тис.грош.од. коливань відносно середнього його значення а₀ = 88,80556 тис.грош.од. (88,80556 – 81,83378 = 95,77733 – 88,80556 = 6,97177). Максимальна відмінність теоретичних і фактичних значень сягає 20,69 % (в травні 2-го року: (94,375982 – 78,20) : 78,20 ∙ 100 ≈ 20,69). Вирівнювання ряду динаміки додатково гармоніками вищого (другого і третього) порядку (в графі 9 розрахункової таблиці №2 представлені значення функції Y_t = 88,805556 – 6,505038 × × cost + 2,676489 ∙ sint + 5,469444 ∙ cos2t – 2,227610 ∙ sin2t – 3,038889 ∙ cos3t + + 2,905556 ∙ sin3t (із-за великого обсягу розрахунків проміжні результати не наводяться), графік якої, як ряд 3, зображений на рис. 1 в задачі №27) зменшує відмінність до 15,77 % ((90,531537 – 78,20) : 78,20 ∙ 100 ≈ 15,77).

2) Сезонна хвиля, побудована через аналітичне вирівнювання ряду динаміки методом рядів Фур’є, нагадує хвилю, отриману в задачі №27. Принципова відмінність двох хвиль спостерігається лише в січні-квітні умовного року, коли середній індекс сезонності не збільшується, як раніше (загальне чотиримісячне збільшення становило 5,18 %), а, навпаки, зменшується зі 101,78 % до 96,59 % (на ті ж самі 5,18 %). У подальшому тенденція його зміни зберігаєть-

ся, але із відмінністю в значеннях індексу не більше 8,52 % в грудні умовного року ((109,77536 – 101,157335) : 101,157335 ∙ 100 ≈ 8,52).