Тема 9. Статистическая обработка результатов измерений. – лк – 4 часа, срс – 3 часа.

Статистическая обработка результатов прямых однократных измерений

Перед выполнением прямых однократных измерений необходимо:

- проанализировать априорную информацию об объекте с целью определения математической модели измеряемого параметра;

- проверить исправность средств измерений и их метрологические характеристики;

- исследовать метод измерения и оценить его погрешности;

- оценить погрешность оператора.

За результат однократного измерения EMBED Equation.3 принимают значение величины, полученное при измерении. Во избежание принятия за результат грубой погрешности измерений (промаха) проводят два-три измерения и, при их близком совпадении, за результат измерения принимают среднее арифметическое значение.

Погрешность результата однократного прямого измерения включает погрешности:

- средства измерения (определяют по их метрологическим характеристикам);

- метода измерения;

- оператора.

Эти погрешности в качестве составляющих включают неисключенные систематические и случайные погрешности.

Принимают, что случайные погрешности распределены нормально, а неисключенные систематические погрешности, представленные заданными границами EMBED Equation.3 , - равномерно.

Неисключенные систематические погрешности определяются границами EMBED Equation.3 или доверительными границами EMBED Equation.3 .

Если неисключенная систематическая погрешность имеется лишь у какой-то одной из составляющих, то ее определяют границами этой погрешности EMBED Equation.3 .

При наличии нескольких неисключенных систематических погрешностей, заданных своими границами EMBED Equation.3 , доверительную границу неисключенной систематической погрешности результата измерений вычисляют по формуле

EMBED Equation.3 ,

где EMBED Equation.3 – коэффициент, зависящий от выбранной доверительной вероятности EMBED Equation.3 и от числа составляющих неисключенной систематической погрешности, а также от их соотношения.

График зависимости EMBED Equation.3 от m и соотношения суммируемых составляющих при EMBED Equation.3 приведен на рис. 9.1.

Рис. 9.1 График зависимости коэффициента EMBED Equation.3 : 1 – m=2; 2 – m=3; 3 – m=4

При отсутствии необходимой информации об EMBED Equation.3 коэффициент EMBED Equation.3 рекомендуют принимать равным 0,95 при EMBED Equation.3 ; 1,1 при EMBED Equation.3 и 1,4 при EMBED Equation.3 .

Случайные погрешности характеризуют средним квадратическим отклонением (СКО) EMBED Equation.3 или доверительными границами EMBED Equation.3 , которые вычисляют по формуле

EMBED Equation.3 ,

где EMBED Equation.3 – СКО результата измерений; EMBED Equation.3 – СКО результата измерения i-й составляющей (средства измерений, метода измерений, оператора); EMBED Equation.3 – процентная точка нормированной функции Лапласа.

Если случайные погрешности представлены доверительными границами EMBED Equation.3 для одной и той же доверительной вероятности, то

EMBED Equation.3 .

Когда случайные погрешности представлены доверительными границами, которые соответствуют разным доверительным вероятностям, то сначала определяют СКО результата измерений по формуле

EMBED Equation.3 ,

а затем вычисляют доверительные границы случайной погрешности результата измерения.

Если случайные погрешности найдены экспериментально при ограниченном числе измерений (n < 30), то доверительную границу этой случайной составляющей вычисляют так:

EMBED Equation.3 ,

где EMBED Equation.3 – коэффициент распределения Стьюдента, зависящий от EMBED Equation.3 и числа измерений n.

Можно использовать коэффициент EMBED Equation.3 , которой соответствует случайной составляющей, оценка которой получена при наименьшем числе измерений.

Рассмотрим следующие возможные случаи оценивания погрешности результата измерения.

1. Если погрешности метода и оператора пренебрежимо малы по сравнению с погрешностями используемых средств измерений (не более 15% от погрешности средств измерений), то за погрешность результата измерения принимают погрешность средств измерений.

2. Если EMBED Equation.3 < 0,8, то пренебрегают неисключенными систематическими погрешностями и за погрешность результата измерения принимают доверительные границы случайных погрешностей.

3. Если EMBED Equation.3 > 8, то пренебрегают случайными погрешностями и за погрешность результата измерения принимают границы неисключенных систематических погрешностей.

4. Если выполняется неравенство 0,8 < EMBED Equation.3 < 8, то доверительную границу погрешности результата измерений вычисляют по формуле

EMBED Equation.3 .

В табл. 9.1 приведены значения коэффициента EMBED Equation.3 для доверительной вероятности 0,95 и 0,99 в зависимости от EMBED Equation.3 (в диапазоне от 0.8 до 8).

Таблица 9.1

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3

0,8 1 2 3 4 5 6 7 8

0,95 0,76 0,74 0,71 0,73 0,76 0,78 0,79 0,80 0,81

0,99 0,84 0,82 0,80 0,81 0,82 0,83 0,83 0,84 0,85

Форма представления результатов прямых однократных измерений та же, что и для прямых многократных измерений.

Статистическая обработка результатов прямых многократных равноточных измерений

Основная цель обработки экспериментальных данных – получение результата измерения и оценка его погрешности. Для этого, как правило, проводятся многократные измерения.

Измерения, выполненные в одинаковых условиях, с помощью одних и тех же средств измерений, при неизменной измеряемой величине, температуре, напряжении сети и т.д. и при числе наблюдений не менее четырех называют многократными равноточными. Они выполняются с целью уменьшения влияния случайных погрешностей на результат измерения. При статистической обработке таких результатов наблюдений необходимо выполнить следующие операции.

Исправить результаты, исключив путем введения поправок из результатов наблюдений систематические погрешности.

Вычислить среднее арифметическое исправленного ряда, принимаемое за результат измерения.

Вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата наблюдения.

Вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата измерения.

Проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению.

Вычислить доверительные границы случайной погрешности результата измерения.

Вычислить границы неисключенной систематической погрешности результата измерения.

Вычислить доверительные границы погрешности результата измерения.

Представить форму записи результата измерений.

Ниже более детально в этой последовательности рассмотрен каждый из этапов вычислений.

Критерии оценки грубых погрешностей

Способ обнаружения грубых погрешностей обычно указывают в методиках выполнения измерений. Если результаты наблюдений можно отнести к нормальному распределению, то грубые погрешности исключают, основываясь на критериях оценки анормальности результатов наблюдений.

Критерий Груббса-Смирнова.

Для упорядоченной выборки результатов ряда наблюдений случайной величины EMBED Equation.3 < EMBED Equation.3 <…< EMBED Equation.3 подсчитывают выборочное среднее EMBED Equation.3 и выборочное среднеквадратическое EMBED Equation.3 . Чтобы оценить крайние значения EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 и принять соответствующее решение, находят отношения

EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 .

Результат сравнивают со стандартным значением EMBED Equation.3 для определенного объема выборки и принятых уровней значимости. Если EMBED Equation.3 > EMBED Equation.3 , то сомнительный результат исключают. Результат наблюдения EMBED Equation.3 оценивают аналогично.

Критерий Шарлье.

Критерий используют при числе наблюдений больше 20. сначала определяется EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 - значение нормированной функции Лапласа для EMBED Equation.3 . Если значение EMBED Equation.3 в ряду EMBED Equation.3 превосходит по модулю значение EMBED Equation.3 , то результат отбрасывается . Значение EMBED Equation.3 в зависимости от числа измерений EMBED Equation.3 приводятся в табл.

Таблица

Критические значения критерия Шарлье

EMBED Equation.3 5 10 20 30 40 50 100

EMBED Equation.3 1,3 1,65 1,96 2,13 2,24 2,32 2,58

Критерий Шовине.

Критерий применяют при числе измерений менее 20. сначала определяют значение EMBED Equation.3 по зависимости

EMBED Equation.3 ,

а затем EMBED Equation.3 , значение которого приводится в табл.

Таблица

Значения критерия Шовине

EMBED Equation.3 3 4 5 6 7 8 9 10

EMBED Equation.3 1,38 1,53 1,65 1,73 1,80 1,86 1,92 1,96

EMBED Equation.3 12 14 16 18 20 25 30 50

EMBED Equation.3 2,03 2,10 2,15 2,20 2,24 2,32 2,39 2,57

Если разность между сомнительным результатом EMBED Equation.3 и средним арифметическим значением EMBED Equation.3 (остаточная погрешность) превосходит по модулю величину EMBED Equation.3 , то результат отбрасывается как промах.

Критерий Райта.

Если остаточная погрешность EMBED Equation.3 больше EMBED Equation.3 , то результат отбрасывается как грубая погрешность ( EMBED Equation.3 - сомнительный результат).

Критерий применяется при большом числе измерений.

Иногда пользуются критерием EMBED Equation.3 . Если разность EMBED Equation.3 > EMBED Equation.3 , то результат EMBED Equation.3 принимают за грубую погрешность и отбрасывают.

Проверка нормальности результатов наблюдений

При числе результатов наблюдений EMBED Equation.3 <50 нормальность распределения проверяют при помощи составного критерия.

Критерий 1.

Вычисляют отношение EMBED Equation.3 :

EMBED Equation.3 ,

где EMBED Equation.3 – смещенная оценка среднеквадратического отклонения, которая вычисляется по формуле

EMBED Equation.3 .

Результаты наблюдений считаются нормально распределенными, если

EMBED Equation.3 < EMBED Equation.3 < EMBED Equation.3 ,

где EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 - квантили распределения, получаемые из таблицы; EMBED Equation.3 – заранее выбранный уровень значимости.

Таблица

Статистика EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

1% 5% 95% 99%

16 0,9137 0,8884 0,7236 0,6829

21 0,9001 0,8768 0,7304 0,6950

26 0,8901 0,8686 0,7360 0,7040

31 0,8826 0,8625 0,7404 0,7110

36 0,8769 0,8578 0,7440 0,7167

41 0,8722 0,8540 0,7470 0,7216

46 0,8682 0,8508 0,7496 0,7256

51 0,8648 0,8481 0,7518 0,7291

Критерий 2.

По этому критерию результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению, если не более EMBED Equation.3 разностей EMBED Equation.3 превзошли значение EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 определяется по формуле

EMBED Equation.3 ,

EMBED Equation.3 – верхняя квантиль распределения нормированной функции Лапласа, отвечающая вероятности EMBED Equation.3 .

Значения EMBED Equation.3 определяются из таблицы по выбранному уровню значимости EMBED Equation.3 и числу результатов наблюдений EMBED Equation.3 .

Если при проверке нормальности распределения для критерия 1 выбран уровень значимости EMBED Equation.3 , а для критерия 2 – EMBED Equation.3 , то результирующий уровень значимости составного критерия будет EMBED Equation.3 .

Распределение результатов наблюдений не соответствует нормальному в том случае, если не соблюдается хотя бы один из критериев.

Таблица

Значения EMBED Equation.3 для вычисления EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

1% 2% 5%

10 1 0,98 0,98 0,96

11 – 14 1 0,99 0,98 0,97

15 – 20 1 0,99 0,99 0,98

21 – 22 2 0,98 0,97 0,96

23 2 0,98 0,98 0,96

24 – 27 2 0,98 0,98 0,97

28 – 32 2 0,99 0,98 0,97

33 – 35 2 0,99 0,98 0,98

36 – 49 2 0,99 0,99 0,98

Проверку гипотезы о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению, следует проводить с уровнем значимости от 10 до 2%.

При большом числе наблюдений (более 50) используются критерий согласия К.Пирсона (критерий EMBED Equation.3 ) для группированных наблюдений и критерий Р.Мизеса – Н.В.Смирнова (критерий EMBED Equation.3 ) для негруппированных наблюдений.

Метод EMBED Equation.3 заключается в контроле отклонений гистограммы экспериментальных данных от гистограммы с таким же числом наблюдений, построенной на основе нормального распределения.

Порядок вычислений следующий:

Вычисляют среднее арифметическое результата измерений и оценку среднеквадратического результата наблюдений.

Группируют наблюдения по интервалам. Для каждого интервала вычисляют середину EMBED Equation.3 и подсчитывают эмпирическое число наблюдений EMBED Equation.3 , попавшее в каждый интервал. При числе наблюдений 40 – 100 принимают 5 – 9 интервалов.

Вычисляют теоретически соответствующее нормальному распределению число наблюдений EMBED Equation.3 для каждого интервала. Для этого из реальных середин интервалов EMBED Equation.3 переходят к нормированным EMBED Equation.3 :

EMBED Equation.3 .

Затем для каждого значения EMBED Equation.3 находят значение функции плотности вероятностей EMBED Equation.3 :

EMBED Equation.3 .

Вычисляют ту часть EMBED Equation.3 общего числа имеющихся наблюдений, которая теоретически должна была быть в каждом из интервалов:

EMBED Equation.3 ,

где EMBED Equation.3 - общее число наблюдений; EMBED Equation.3 - длина интервала, принятая при построении гистограммы.

Если в какой-либо интервал теоретически попадает меньше наблюдений, то его в обеих гистограммах соединяют с соседним интервалом.

Определяют число степеней свободы EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 – общее число интервалов после укрупнения.

Вычисляют показатель разности частот EMBED Equation.3 :

EMBED Equation.3 ,

где EMBED Equation.3 .

8. Выбирают уровень значимости (от 0,02≤ EMBED Equation.3 ≤0,1%). По уровню значимости и числу степеней свободы EMBED Equation.3 находят границу критической области EMBED Equation.3 . Если оказывается, что EMBED Equation.3 > EMBED Equation.3 , то гипотеза о нормальности отвергается.

Определение доверительных границ случайной и неисключенной систематической погрешности результата измерения

Доверительные границы случайной погрешности результата измерения устанавливаются для результатов наблюдений, принадлежащих нормальному распределению. Они без учета знака определяются выражением

EMBED Equation.3 ,

где EMBED Equation.3 – коэффициент Стьюдента, который зависит от заданной доверительной вероятности EMBED Equation.3 и числа результатов наблюдений. Доверительную вероятность EMBED Equation.3 принимают равной 0,95; допускается указывать границы для EMBED Equation.3 .

Доверительные границы неисключенной систематической погрешности EMBED Equation.3 результата измерений вычисляют путем построения композиции распределения составляющих неисключенных систематических погрешностей. При равномерном распределении эти границы вычисляются по формуле

EMBED Equation.3 ,

где EMBED Equation.3 – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью, равный 1,1 при EMBED Equation.3 и 1,4 – при EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 > 4; EMBED Equation.3 – число суммируемых неисключенных погрешностей.

Если EMBED Equation.3 < 4, то коэффициент EMBED Equation.3 определяют по данному графику зависимости EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . За EMBED Equation.3 принимается наиболее отличающаяся от других составляющая, в качестве EMBED Equation.3 следует принимать ближайшую в составляющую.

При определении границы погрешности результата измерения рассматривают соотношение неисключенной систематической и случайной погрешностей.

Если неисключенные систематические погрешности пренебрежимо малы по сравнению со случайными ( EMBED Equation.3 < 0,8), то погрешность результата измерения можно характеризовать только доверительными границами случайной погрешности, т.е. EMBED Equation.3 .

Если пренебрежимо малы случайные погрешности ( EMBED Equation.3 > 8), то погрешность результата измерения характеризуется неисключенными систематическими погрешностями EMBED Equation.3 .

Если 0,8 < EMBED Equation.3 <8, то граница погрешности результата измерения вычисляется по формуле EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 – коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешностей; EMBED Equation.3 – оценка суммарного среднеквадратического отклонения результата измерения, вычисляемая по формуле

EMBED Equation.3 .

Коэффициент EMBED Equation.3 определяют по зависимости

EMBED Equation.3 .

Результаты измерения должны быть представлены в стандартной форме. Так, при симметричной доверительной погрешности указывают: результат EMBED Equation.3 , граница погрешности EMBED Equation.3 и вероятность EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 .

Численное значение результата EMBED Equation.3 должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности.

При необходимости дальнейшей обработки результатов или анализа погрешности результаты измерения представляются в форме EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . Иногда указывают и доверительную вероятность EMBED Equation.3 .

Обработка результатов прямых многократных неравноточных измерений

Часто в практике измерений встречаются случаи. Когда оценки измеряемой величины получены путем обработки результатов наблюдений, выполненных в различных условиях: различными наблюдателями, разными приборами, в разное время. Степень доверия к таким измерениям может быть различна, например, из-за различия точностных характеристик средств измерений. В этом случае для оценки наиболее вероятного значения величины каждому результату необходимо приписать некоторый вес, характеризующий степень доверия к результату. При этом, чем больше вес измерения, тем больше степень доверия к результату. За результат измерения в этом случае принимается среднее взвешенное значение, определяемое по формуле

EMBED Equation.3 ,

где EMBED Equation.3 – средние значения отдельных рядов наблюдений; EMBED Equation.3 – соответствующие им веса измерений, которые чаще всего устанавливают обратно пропорциональными дисперсии ( EMBED Equation.3 ).

Если теоретические дисперсии EMBED Equation.3 неизвестны, то пользуются их оценками, с помощью которых определяют их веса: EMBED Equation.3 .

Другим критерием для определения весов результатов измерений являются числа наблюдений EMBED Equation.3 в каждой группе при EMBED Equation.3 . В этом случае среднее взвешенное будет определяться по формуле

EMBED Equation.3 .

Оценка среднего квадратического отклонения EMBED Equation.3 принимается в качестве точечной характеристики случайной погрешности результата и рассчитывается по формуле

EMBED Equation.3 ,

где EMBED Equation.3 – число рядов.

Иногда при расчетах пользуются и другой зависимостью, связывая среднеквадратическое отклонение со средним взвешенным значением:

EMBED Equation.3 .

Доверительный интервал результата измерения можно представить формулой

EMBED Equation.3 < EMBED Equation.3 < EMBED Equation.3 ,

где коэффициент Стьюдента EMBED Equation.3 определяется в зависимости от заданной доверительной вероятности и числа степеней свободы EMBED Equation.3 .