Проверка основного закона вращательного движения твёрдого тела

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: экспериментально подтвердить зависимость углового ускорения тела от его момента инерции и момента силы, действующей на это тело; изучить устройство маятника Обербека, овладеть приёмами работы с ним.

ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ: крестообразный маятник (маятник Обербека), набор грузов, штангенциркуль, масштабная линейка, секундомер.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Студентам необходимо:

– изучить устройство и принцип действия маятника Обербека;

– определить момент инерции системы;

– экспериментально подтвердить зависимость углового ускорения тела при постоянном моменте инерции от момента силы, действующей на это тело: ;

– экспериментально подтвердить зависимость углового ускорения тела при неизменном моменте силы от его момента инерции: ;

– результаты измерений и вычислений оформить в виде таблиц;

– на основании полученных результатов сделать вывод;

– записать свои предложения по улучшению техники измерений и вычислений в данной работе.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ ОПЫТА

Согласно основному закону вращательного движения твёрдого тела (в частном виде), угловое ускорение , приобретаемое твердым телом, прямо пропорционально приложенному моменту сил М и обратно пропорционально моменту инерции тела J, т. е.

. (8.1)

Следовательно, для проверки основного закона вращательного движения необходимо показать, что:

а) при ;

б) при .

Закон вращательного движения можно изучать с помощью прибора, изображенного на рис. 8.1. Основной его частью является крестообразный маховик 1, закреплённый на горизонтальной оси 2. На спицы крестовины насажены одинаковые по размерам и массе цилиндры 3, положение которых можно изменять. Когда цилиндры расположены на равных расстояниях от оси вращения, маховик находится в безразличном равновесии. На одной оси с маховиком находится шкив 4 с намотанной на него нитью 5. Нить перекинута через неподвижный блок 6. К концу нити привязана чашка 7, на которую можно помещать грузы – 8.

Рис. 8.1. Маятник Обербека

1 – крестообразный маховик; 2 – ось; 3 – цилиндры; 4 – шкив; 5 – нить; 6 – неподвижный блок; 7 – чашка; 8 – груз

На основании закона динамики вращательного движения (8.1) при неизменном моменте инерции J можно записать:

. (8.2)

Проверим данное соотношение.

При проведении первой серии опытов цилиндры располагаются на спицах в максимально крайнем положении от оси вращения (вторая риска – ). При этом на чашку кладут груз определенного веса ( ). Падая, груз приводит в движение маховик. Если высота падения h, а время падения , то ускорение груза

. (8.3)

С таким же ускорением движутся точки на поверхности шкива с радиусом r. Зная их линейное ускорение , можно найти угловое согласно формуле:

. (8.4)

Подставляя (8.3) в (8.4), получим:

. (8.5)

Сила, приводящая шкив в равноускоренное вращение:

. (8.6)

Момент силы:

. (8.7)

Учитывая (8.3) и (8.6), для момента силы получим:

. (8.8)

Далее на чашку кладут другой груз весом и определяют момент силы согласно формуле, аналогичной формуле (8.8).

Учитывая формулы (8.5) и (8.8), соотношение (8.2) можно переписать в виде:

. (8.9)

Таким образом, проверку соотношения (8.2) можно свести к проверке соотношения (8.9).

На основании закона динамики вращательного движения (8.1) при неизменном моменте сил М можно записать:

. (8.10)

Момент инерции системы геометрически правильных тел можно рассчитать. В нашем случае требуется вычислить момент инерции системы, состоящей из двух стержней (ось вращения перпендикулярна стержням и проходит через их середину) и четырех цилиндров (ось вращения параллельна одной из осей основания цилиндра). Учитывая свойство аддитивности момента инерции, можно записать:

, (8.11)

где – момент инерции системы, когда цилиндры максимально удалены от оси вращения; – момент инерции крестовины; – момент инерции цилиндра, когда он максимально удален от оси вращения; – момент инерции стержня (моментом инерции шкива пренебрегают).

Момент инерции стержня (ось вращения перпендикулярна стержню и проходит через его середину) рассчитывается согласно формуле:

, (8.12)

где , – масса и длина стержня соответственно.

Момент инерции сплошного цилиндра (ось вращения перпендикулярна оси цилиндра и пересекает её) рассчитывается согласно формуле:

, (8.13)

где , H, R – масса, высота и радиус сплошного цилиндра.

Учитывая (8.13) и теорему Штейнера, для цилиндра, в котором сделано цилиндрическое отверстие вдоль его оси, можно получить следующую формулу (ось вращения параллельна одной из осей основания цилиндра):

, (8.14)

где , H, – масса, высота и радиус цилиндра с отверстием радиуса , – расстояние от оси вращения до центра тяжести цилиндра.

Таким образом, учитывая (8.12) и (8.14), для можно записать:

, (8.15)

определяется по формуле, аналогичной (8.14).

В случае сложных формы и распределения массы момент инерции тела можно определить экспериментально, исходя из основного закона вращательного движения тела.

. (8.10)

ЗАДАНИЕ № 1. ПРОВЕРКА ЗАВИСИМОСТИ УГЛОВОГО УСКОРЕНИЯ ТЕЛА ОТ МОМЕНТА СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩЕЙ НА ЭТО ТЕЛО, ПРИ ПОСТОЯННОМ МОМЕНТЕ ИНЕРЦИИ

1. Маятник Обербека (все цилиндры максимально удалены от центра) расположить на краю стола так, чтобы чашка для груза могла беспрепятственно опускаться на нити.

2. Придерживая чашку, измерить высоту h, на которой она первоначально располагается.

3. Положить на чашку груз массой 200 г, тогда с учётом массы чашки  г.

4. Отпустить груз, одновременно с этим включая секундомер. В момент удара груза о пол остановить секундомер.

5. Проделать опыт не менее трех раз (первоначальную высоту h не менять).

6. Повторить пункты 4 и 5 для  г (с учетом массы чашки).

7. Рассчитать , , и .

8. Проделать каждую серию опытов (для и ), когда цилиндры максимально приближены к центру.

9. Результаты измерений и вычислений занести в таблицу 8.1.

Табл. 8.1

№	h
Цилиндры максимально удалены от центра, _____; _____
1												–	–	–
2
3
Ср.
Цилиндры максимально приближены к центру, _____; _____
1
2
3
Ср.

В таблице 8.1 – среднее значение углового ускорения из второй серии опытов, соответствующее времени , – среднее значение углового ускорения из второй серии опытов, соответствующее времени .

ЗАДАНИЕ № 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ СИСТЕМЫ ТЕЛ

1. Рассчитать моменты инерции системы теоретически для случаев:

а) цилиндры максимально удалены от центра (согласно формуле (8.15));

б) цилиндры максимально приближены к центру (подставив в формулу (8.15) вместо значение расстояния ).

2. Выполнить расчёт моментов инерции на основании экспериментальных данных из первого задания (см. формулу 8.10).

3. Сравнить результаты пункта 1 и 2, сделать выводы.

ЗАДАНИЕ № 3. ПРОВЕРКА ЗАВИСИМОСТИ УГЛОВОГО УСКОРЕНИЯ ОТ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА ПРИ НЕИЗМЕННОМ ВРАЩАЮЩЕМ МОМЕНТЕ

Проверить справедливость соотношения (8.10).

ОСНОВНЫЕ ДАННЫЕ ПРИБОРА

 м – радиус шкива;

 кг – масса стержня крестовины;

 м – длина стержня крестовины;

 кг – масса цилиндра;

 м – высота цилиндра;

 м – внешний радиус цилиндра;

 м – внутренний радиус цилиндра;

 м – расстояние от оси вращения до первой риски;

 м – расстояние от оси вращения до второй риски.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Записать уравнения равномерного и равнопеременного вращательного движения.

2. Что понимают под абсолютно твёрдым телом?

3. Сформулировать и записать основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела.

5. Каков физический смысл момента силы, момента пары сил, момента инерции, момента импульса?

6. Что такое угловая скорость и угловое ускорение? Каков их физический и математический смысл?

8. Может ли пара сил сообщить телу поступательное движение?

9. Решите одну из задач (см. задачи для самостоятельного решения) по выбору преподавателя.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. К ободу однородного сплошного диска радиусом  м приложена постоянная касательная сила  Н. При вращении диска на него действует момент сил трения  Нм. Определить массу m диска, если известно, что его угловое ускорение  постоянно и равно 12 рад/с².

2. Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой  кг перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены тела массами  кг и  кг. Пренебрегая трением в оси блока, определить: 1) ускорение грузов; 2) отношения сил натяжения нити.

3. Маховик, момент инерции которого  кгм², вращается с угловой скоростью  рад/с. Найти момент сил торможения М, под действием которого маховик останавливается через время  с. Маховик считать однородным диском.

4. Определить угловое ускорение блока радиусом R с моментом инерции J, через который перекинута нить с грузами массой и . Трением пренебречь.

5. Диск массой  кг катится без скольжения по горизонтальной поверхности со скоростью  м/с. Найти кинетическую энергию диска.

6. Мальчик катит обруч по горизонтальной поверхности со скоростью  км/ч. На какое расстояние может вкатиться обруч на горку за счёт его кинетической энергии? Уклон горки равен 10 м на каждые 100 м пути.

7. На барабан массой  кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой  кг. Найти ускорение груза. Барабан считать однородным цилиндром. Трением пренебречь.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 11