3. Двоично-десятичная система счисления

В вычислительных системах часто используют комбинированную систему – двоично-десятичную систему счисления, облегчающую запись больших чисел с применением двоичного кода. Представ­ляя каждую десятичную цифру совокупностью из четырех разрядов (тетрад), можно получить комбинированную систему счисления, которая обладает достоинствами двоичной системы и удобством десятичной. В ЭВМ наибольшее применение нашли системы коди­рования 8421, 2421, 8421+3.

Код 8421 называется кодом с естественными весами, здесь цифры 8, 4, 2, 1 —веса двоичных разрядов тетрад (2³, 2², 2¹ и 2⁰). Любая де­сятичная цифра в этом коде изображается ее эквивалентом в двоич­ной системе счисления. Этот код нашел наибольшее применение при кодировании десятичных чисел в устройствах ввода — вывода и при построении операционных устройств десятичной арифметики.

В двоично-десятичной системе каждая десятичная цифра представляется двоичным эквивалентом.

Примеры:

1. Число 197₍₁₀₎ в десятично-двоичной системе имеет вид

1 97₍₁₀₎ = 0001 1001 0111_(2-10)

1 9 7

2. Число 24₍₁₀₎ представляется как 0010 0100_(2-10), а 506₁₀ как 0101 0000 0110_2-10

Недостатки. Недостатком этой системы является её избыточность для чисел 7 и менее (недоиспользуются многие двоичные разряды). Для устранения этого недостатка в ЭВМ используют восьмеричную систему счисления.

3. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Такие системы счисления относятся к двоично-кодированным системам, когда основание системы счисления представляют целые степени двойки: 2³ — для восьмеричной и 2⁴ — для шестнадцатеричной систем счисления. Изображения целых чисел в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления вместе с их двоичным и десятичными эквивалентами представлены в табл. 2.4 и 2.6

Большим достоинством восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления является:

-возможность более ком­пактно представить запись двоичного числа. Запись од­ного и того же двоичного числа в восьмеричной в 3 раза, а в шестнадцатерич­ной системе в 4 раза короче двоичной;

-сравнительно просто осуществляется преобразование чисел из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы и наоборот.

Действительно, так как для восьмеричного числа каж­дый разряд представляется группой из трех двоичных разрядов (триад), а для шестнадцатеричного — группой из четырех двоич­ных разрядов (тетрад), то для такого преобразования достаточно объединить двоичные цифры в группы по 3 и 4 бита соответственно, продвигаясь от разделительной запятой вправо и влево. При этом в случае необходимости добавляют нули в начале и в конце числа и каждую такую группу — триаду или тетраду — заменяют экви­валентной восьмеричной или шестнадцатеричной цифрой.

Указанные достоинства восьмеричных и шестнадцатеричных систем счисления определили использование их при составлении программ для более короткой и удобной записи двоичных чисел, команд и специальных двоичных слов, с которыми оперирует ЭВМ. Особенно оказалось удобным использование шестнадцатеричной системы, когда разрядность чисел и команд выбрана кратной бай­ту, при этом каждый двоичный код байта запишется в виде 2-раз­рядного шестнадцатеричного числа.

Использование шестнадцатеричной системы счисления в ЭВМ общего назначения, как будет видно из дальнейшего изложения, позволяет расширить допустимый диапазон представления норма­лизованных чисел.

Шестнадцатеричная система счисления.

Наиболее удобной и короткой по записи является шестнадцатеричной СС. Данная СС имеет набор цифр {0, 1, 2, 3,. . ., 9, А, В, С, D, Е, F}, т.е основание системы р = 16. Для изображения чисел в шестнадцатеричной СС требуются 16 цифр. Для обозначения первых десяти цифр используются цифры десятичной СС, а для изображения шести ос­тальных - шесть заглавных (прописных) букв латинского алфавита А, В, С, D, Е, F, хотя можно было бы использовать любые другие шесть знаков.

По формуле (2.2) шестнадцатеричное число можно представить так:

А 16 = an 16n + an-1 16n-1 + an-2 16n-2 + … + a1 161 + a0 160 + a-1 16-1 + a-2 16-2 + … + a-m 16-m

Примеры.

1. Целое положительное число F7F8140₍₁₆₎ записывается следующим образом:

F7F8140₍₁₆₎ = F • 16⁶ +7 • 16⁵ + F • 16⁴ +8 • 16³ + 1 • 16² +4•16¹ +0 •16⁰.

2. Смешанное число А0,5Е₍₁₆₎ имеет вид: А0, 5Е₍₁₆₎ = 10 • 16¹ + 0 • 16⁰ + 5 •16^-1 + 14• 16^-2.

3. Дробное число 0,ABC имеет вид: 0,ABC₁₆ = 10 • 16^-1 + 11 • 16^-2 + 12 • 16^-3.

Шестнадцатеричные цифры и их десятичные эквиваленты даны в табл. 2.4.

Полезно помнить некоторые степени шестнадцати –табл.2.5

Таблица 2.4- Шестнадцатеричные цифры и их эквиваленты									Таблица 2.5 - Степени числа16
Основание систем счисления
10	2	16	10	2	16	16n			n	16-n
0	0000	0	16	0001 0000	10			1		0	1.0
1	0001	1	17	0001 0001	11			16		1	0.0625
2	0010	2	18	0001 0010	12			256		2	0.00390625
3	0011	3	19	0001 0011	13			4096		3	0.000244140625
4	0100	4	20	0001 0100	14			65536		4	0.0000152587890625
5	0101	5	21	0001 0101	15			1048576		5	0.00000095367431640625
6	0110	6	22	0001 0110	16			16777216		6	0,0000000059604644775390625
7	0111	7	23	0001 0111	17
8	1000	8	24	0001 1000	18
9	1001	9	25	0001 1001	19
10	1010	A	26	0001 1010	1A
11	1011	B	27	0001 1011	1B
12	1100	C	28	0001 1100	1C
13	1101	D	29	0001 1101	1D
14	1110	E	30	0001 1110	1E
15	1111	F	31	0001 1111	1F

Преобразование шестнадцатеричного числа в двоичное происходит так:

7F8₁₆ = 0111 1111 1000₂,

7 F 8

Обратное преобразование двоичного числа в шестнадцатеричное происходит следующим образом. Двоичное число разбивается на тетрады (4 разряда) и каждая тетрада заменяется эквивалентом 16-ричного числа.

Число 0111 1111 1000₍₂₎ = 7F8₍₁₆₎ .