2.2 Виды позиционных систем счисления

В ЕС ЭВМ для представления числовой информации используются сле­дующие системы счисления: десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. В дальнейшем, чтобы отличить, в какой СС записано число, будем указы­вать основание СС в виде индекса в десятичной СС, заключенного в круг­лые скобки. Если основание СС равно 10 или очевидно из контекста, то индекс будет опущен.

Например, число 12,5 записано в десятичной СС, а число С8₍₁₆₎ — в шестнадцатеричной.

Количество цифр, которое требуется для изображения числа в пози­ционной СС, равно основанию системы -р.

Например, для изображения чи­сел в двоичной системе счисления требуются две цифры (р=2), в десятичной –десять (р=10), в шестнадцатеричной — шестнадцать цифр (р=16).

В позиционных системах счисления значение каждой цифры представляется её изображением и позицией в числе.

Так в числе 525₁₀ число 5 находится на двух позициях и принимает значение 5•100=500 (сотни) и 5•1=5 (единицы), а число 2 значение 2•10=20 (десятки).

1. Десятичная система счисления.

Эта СС используется в нашей повсед­невной жизни, здесь она приводится для сравнения с другими СС. Причина широкого распространения именно десятичной системы счисления понятна – она происходит от унарной системы с пальцами рук в качестве палочек. Осно­вание системы р = 10, набор цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Число представляет собой краткую запись многочлена, куда входят степени некоторого другого числа – основания СС. Согласно (2.2) формула приобретет вид:

А10 = an 10n + an-1 10n-1 + an-2 10n-2 + … + a1 101 + a0 100 + a-1 10-1 + a-2 10-2 + a-m 10-m

Примеры.

1. Целое положительное число 121 по формуле (2.1) записывается так:

1 • 10² +2 • 10¹ + 1 • 10⁰.

2. Смешанное число 809,103 по формуле (2.2)имеет вид:

8 • 10² +0 • 10¹ +9 • 10⁰ + 1 • 10^-1 +0 • 10^-2 +3 • 10^-3.

3. Дробь 0,30917 по формуле (2.3) принимает вид:

3 • 10^-1 +0 • 10^-2 +9 • 10^-3 + 1 • 10^-4 +7 • 10^-5.

Десятичное число представляет собой сумму степеней десяти с соот­ветствующими коэффициентами.

10n	n	10-n
1	0	1,0
10	1	0.1
100	2	0.01
1 000	3	0.001
10 000	4	0.000 1
100 000	5	0.000 01
1 000 000	6	0.000 001
10 000 000	7	0.000 000 1
100 000 000	8	0.000 000 01
1 000 000 000	9	0.000 000 001
10 000 000 000	10	0.000 000 000 1

Таблица 2.1-Степени десяти

2.2.2 Двоичная система счисления.

В этой системе счисления для представления любого разряда двоичного числа достаточно иметь один физический элемент только с двумя резко различимыми устой­чивыми состояниями, одно из которых изображает 1, другое —0 (это, в свою очередь, обеспечивает высокую надежность представ­ления чисел при минимальной сложности оборудования), поэтому двоичная система счисления приобрела широкое распространение для представления и обработки информации в ЭВМ.

Она имеет набор цифр {0,1}, т.е. основание системы р = 2.

В общем виде, используя формулу (2.2), двоичное число можно представить вы­ражением:

А2 = an 2n + an-1 2n-1 + an-2 2n-2 + … + a1 21 + a0 20 + a-1 2-1 + a-2 2-2 + a-m 2-m

Примеры:

1. Целое положительное число 1000101₂ по формуле (2.1) можно записать как:

1000101₂ = 1 • 2⁶ + 0 • 2⁵ + 0 • 2⁴ + 0 • 2³ + 1 • 2² + 0 • 2¹ + 1 • 2⁰.

2. Смешанное число 10111, 011 имеет вид:

10111, 011₂ = 1 • 2⁴ +0 • 2³ + 1 • 2² + 1 • 2¹ + 1 • 2⁰ +0 • 2^-1 + 1 • 2^-2 + 1 • 2^-3.

В табл. 2.2 приведены целые двоичные числа и их десятичные эквива­ленты от 0 до 31. Кроме того, полезно помнить степени двойки, приве­денные в табл. 2.3.

Таблица 2.2 -Целые двоичные числа

и их десятичные эквива­ленты Таблица 2.3-Степени двойки

Десятичное число	Двоичное число	Десятичное число	Двоичное число		2n	n	2-n
0	0000 0000	16	0001 0000		1	0	1,0
1	0000 0001	17	0001 0001		2	1	0.5
2	0000 0010	18	0001 0010		4	2	0.25
3	0000 0011	19	0001 0011		8	3	0.125
4	0000 0100	20	0001 0100		16	4	0.062 5
5	0000 0101	21	0001 0101		32	5	0.031 25
6	0000 0110	22	0001 0110		64	6	0.015 625
7	0000 0111	23	0001 0111		128	7	0.007 812 5
8	0000 1000	24	0001 1000		256	8	0.003 906 25
9	0000 1001	25	0001 1001		512	9	0.001 953 125
10	0000 1010	26	0001 1010		1024	10	0.000 976 562 5
11	0000 1011	27	0001 1011		2048	11	0. 000 488 281 25
12	0000 1100	28	0001 1100		4096	12	0.000 244 140 625
13	0000 1101	29	0001 1101		8192	13	0.000 122 070 312 5
14	0000 1110	30	0001 1110		16384	14	0.000 061 035 156 25
15	0000 1111	31	0001 1111		32768	15	0.000 030 517 578 125

К достоинствам двоичной системы относятся:

• простота выполнения арифметических и логических операций и, как следствие, простота устройств, реализующих эти операции;

• возможность использования аппарата алгебры логики для ана­лиза и синтеза операционных устройств.

Неудобством двоичной системы счисления является ее громозд­кость по сравнению с десятичной для использования человеком и необходимость преобразования десятичных чисел в двоичные и наоборот. Однако учитывая то обстоятельство, что многие матема­тические задачи требуют сравнительно небольшого количества ис­ходных данных по сравнению с объемом вычислений, этот недоста­ток становится несущественным.